Repita o exercício anterior supondo que o ônibus chega T minutos após às 10 hs , onde T é exponencialmente distribuída com média de 15 minutos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que o ônibus chega T minutos depois das 10 horas, e T segue uma distribuição exponencial com média de 15 minutos. Isso significa que estamos lidando com Probabilidade e Estatística, especificamente com Distribuições de Probabilidade. Para resolver, vamos precisar entender a distribuição exponencial, sua média e a função de probabilidade associada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente a uma taxa constante. No nosso caso, o “evento” é a chegada do ônibus.
A distribuição exponencial é definida pela função de densidade de probabilidade:
fT(t) = lambda e^-lambda t para t >= 0
Onde:
  • é a taxa de ocorrência (inverso da média).
  • é o tempo.

Passo 3

Sabemos que a média mu = 1lambda da distribuição exponencial é dado por:
lambda = 1mu = 115 por minuto
No nosso caso, a média é 15 minutos. Então, podemos encontrar :

Passo 4

Agora que temos fT(t) = 115 e^-t15 para t >= 0 , podemos escrever a função de densidade de probabilidade específica para esse caso:

Passo 5

Se quisermos, por exemplo, calcular a probabilidade de o ônibus chegar em menos de 10 minutos após as 10 horas, usamos a função de distribuição acumulada (CDF) da distribuição exponencial:
P(T <= t) = 1 - e^-lambda t
Substituindo P(T <= 10) = 1 - e^-1015 = 1 - e^-23 e :

Passo 6

Vamos calcular o valor numérico:
e^-23 approx e^-0,6667 approx 0,5134
Então:
P(T <= 10) = 1 - 0,5134 = 0,4866

Resposta

A probabilidade de o ônibus chegar em menos de 10 minutos após as 10 horas é aproximadamente 48,66%.

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