Um repórter perguntou a um técnico de um time de futebol de salão se ele já dispunha da escalação de sua equipe. O técnico respondeu que jogariam Fulano, a grande estrela do time, e mais 4 jogadores. Supondo que o técnico disponha de um elenco de 11 jogadores (incluindo Fulano) e que qualquer jogador pode ocupar qualquer posição, quantas equipes diferentes podem ser formadas de maneira que a resposta do técnico seja verdadeira?

Passo 1

O enunciado está em combinatória: temos um elenco de 11 jogadores, entre os quais está Fulano, e queremos formar uma equipe de 5 jogadores (um deles obrigatoriamente é Fulano) em que a posição de cada um importa. Para resolver, precisamos:
  1. Escolher os 4 companheiros de Fulano dentre os outros 10 jogadores.
  2. Distribuir os 5 jogadores escolhidos (Fulano +4) nas 5 posições disponíveis.

Passo 2

Para escolher os 4 companheiros de Fulano dentre os 10 restantes, usamos combinação de 10 elementos tomados de 4 em 4, pois a ordem de seleção ainda não considera posições:
\binom{10}{4} = \frac{10!}{4!\,6!} = 210.

Passo 3

Após escolher o conjunto de 5 jogadores, cada um pode ocupar qualquer uma das 5 posições, ou seja, permutamos 5 elementos entre 5 lugares. O número de permutações é
5! = 120.

Passo 4

Pelo princípio multiplicativo, o total de escalações é
\binom{10}{4} \times 5! = 210 \times 120 = 25200.

Resposta

25200

Exercícios relacionados