Como se representa o número 444 (decimal) nas bases, binária, octal e hexadecimal? Demonstre os cálculos.

Passo 1

O enunciado pede: representar o número decimal 444 nas bases binária, octal e hexadecimal.
Informações dadas: o número em base decimal é 444. Não há outras restrições.

Passo 2

Explicação do método que vou usar (divisão sucessiva) e por que funciona, de forma bem simples. Para converter um inteiro N da base decimal para uma base qualquer b usamos a propriedade positional: existem dígitos d_0,d_1,\dots,d_k tais que
N = d_0 + d_1 b + d_2 b^2 + \cdots + d_k b^k,
onde cada d_i é um inteiro entre 0 e b-1. O algoritmo da divisão sucessiva funciona assim: dividir N por b, obter quociente q e resto r e escrever
N = b\cdot q + r,
então r é o dígito menos significativo d_0. Em seguida repetir o processo com q até o quociente chegar a zero; os restos obtidos, lidos de baixo para cima (último resto para o primeiro), formam os dígitos na base b. Vou aplicar isso para b=2, b=8 e b=16.

Passo 3

Conversão para binário ( b=2) — cálculo passo a passo com divisões sucessivas. Cada linha é da forma \text{número} = 2\cdot\text{quociente} + \text{resto}ú.
444 = 2\cdot222 + 0
222 = 2\cdot111 + 0
111 = 2\cdot55 + 1
55 = 2\cdot27 + 1
27 = 2\cdot13 + 1
13 = 2\cdot6 + 1
6 = 2\cdot3 + 0
3 = 2\cdot1 + 1
1 = 2\cdot0 + 1
Os restos, lidos do último para o primeiro, são
1,\;1,\;0,\;1,\;1,\;1,\;1,\;0,\;0.
Portanto a representação binária é
\text{binário: } 110111100.á

Passo 4

Verificação rápida (entendendo o que significam os bits): o número binário 110111100 corresponde a
1\cdot2^{8}+1\cdot2^{7}+0\cdot2^{6}+1\cdot2^{5}+1\cdot2^{4}+1\cdot2^{3}+1\cdot2^{2}+0\cdot2^{1}+0\cdot2^{0},
que vale
256+128+0+32+16+8+4+0+0 = 444,
confirmando que a conversão está correta.

Passo 5

Conversão para octal ( b=8) — divisões sucessivas:
444 = 8\cdot55 + 4
55 = 8\cdot6 + 7
6 = 8\cdot0 + 6
Os restos, lidos de baixo para cima, são 6,\;7,\;4. Portanto a representação octal é
\text{octal: } 674.

Passo 6

Outra forma rápida de obter o octal (checar): agrupar os bits binários em grupos de 3, da direita para a esquerda. Tomando o binário 110111100 e agrupando:
110\; 111\; 100
cada grupo representa um dígito octal: 110_2=6, 111_2=7, 100_2=4, dando novamente 674_8. Isso é um bom atalho quando já se tem a forma binária.

Passo 7

Conversão para hexadecimal ( b=16) — divisões sucessivas:
444 = 16\cdot27 + 12
27 = 16\cdot1 + 11
1 = 16\cdot0 + 1
Os restos, lidos de baixo para cima, são 1,\;11,\;12. Em base hexadecimal os dígitos 10,11,12,13,14,15 correspondem a A,B,C,D,E,F. Assim 11 vira B e 12 vira C. A representação hexadecimal é
\text{hexadecimal: } 1BC.

Passo 8

Verificação rápida para hexadecimal (agrupamento de bits): para checar, agrupa-se o binário em blocos de 4 bits, da direita para a esquerda (com zeros à esquerda se necessário). Para 110111100 preenche-se à esquerda para completar 4 bits:
0001\;1011\;1100
esses blocos em hexadecimal são 0001_2=1, 1011_2=11=B, 1100_2=12=C, dando 1BC_{16}, que confere com o resultado acima.

Resposta

Binário: 110111100
Octal: 674
Hexadecimal: 1BC

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