Represente as equações de Maxwell na forma diferencial e integral e as relações constitutivas, comentando basicamente o que elas descrevem (o que representam fisicamente). A partir das equações explique a propagação eletromagnética no espaço livre.
Passo 1
Então, vamos lá! O que você está pedindo é para a gente representar as equações de Maxwell tanto na forma diferencial quanto na integral, além de falar sobre as relações constitutivas. Basicamente, estamos lidando com Eletromagnetismo, uma parte fundamental da Física que descreve como campos elétricos e magnéticos se comportam e interagem. Para resolver isso, vamos precisar entender as próprias equações de Maxwell, as formas como elas podem ser escritas e o que elas representam fisicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre as Equações de Maxwell na Forma Integral. Essas equações são ferramentas poderosas que relacionam campos elétricos e magnéticos com as cargas elétricas e correntes que os geram.
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Lei de Gauss para o Campo Elétrico:Essa equação diz que o fluxo do campo elétrico (
) através de uma superfície fechada é proporcional à carga total ( ) dentro dessa superfície. Fisicamente, isso significa que cargas elétricas geram campos elétricos ao seu redor. -
Lei de Gauss para o Campo Magnético:Aqui, o fluxo do campo magnético (
) através de uma superfície fechada é sempre zero. Isso indica que não existem “cargas magnéticas” isoladas, ou seja, monopolos magnéticos não foram observados na natureza. -
Lei de Faraday da Indução:Essa equação relaciona a variação do campo magnético no tempo com o campo elétrico induzido ao redor de uma curva. Em outras palavras, mudanças no campo magnético geram campos elétricos.
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Lei de Ampère-Maxwell:Aqui, o campo magnético ao redor de uma curva está relacionado à corrente elétrica (
) que atravessa a superfície limitada por essa curva, além de uma contribuição proveniente da variação do campo elétrico no tempo.
Passo 3
Agora, vamos para as Equações de Maxwell na Forma Diferencial. Essas fórmulas são expressas usando cálculo diferencial e são muito úteis para resolver problemas em um ponto específico no espaço.
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Lei de Gauss para o Campo Elétrico:Aqui, o divergente do campo elétrico (
) é igual à densidade de carga elétrica ( ) dividida pela permissividade do vácuo ( ). -
Lei de Gauss para o Campo Magnético:Isso confirma que não há fontes monopolares magneticas; o campo magnético sempre forma linhas fechadas.
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Lei de Faraday da Indução:O rotacional do campo elétrico (
) é igual à taxa de variação negativa do campo magnético no tempo. -
Lei de Ampère-Maxwell:O rotacional do campo magnético (
) está relacionado à densidade de corrente elétrica ( ) e à taxa de variação do campo elétrico no tempo.
Passo 4
Vamos falar sobre as Relações Constitutivas. Elas conectam os campos elétrico e magnético (
e
) com os campos de deslocamento elétrico (
) e indução magnética (
).
Em espaço livre (ou vácuo), essas relações são simples:
Essas equações dizem que o campo de deslocamento elétrico é proporcional ao campo elétrico, e o campo de indução magnética é proporcional ao campo magnético, com as constantes
e
sendo as permissividades e permeabilidades do vácuo, respectivamente.
Passo 5
Agora que temos todas as equações de Maxwell e as relações constitutivas, vamos ver como elas explicam a Propagação Eletromagnética no Espaço Livre.
Sem cargas (
) e sem correntes (
), as equações de Maxwell no vácuo ficam:
Podemos combinar essas equações para obter a Equação de Onda para os campos elétrico e magnético. Por exemplo, aplicando o rotacional na terceira equação e substituindo a quarta, obtemos:
Usando a identidade vetorial
e sabendo que
, fica:
Simplificando:
Essa é a equação de onda para o campo elétrico, que mostra que as variações dos campos elétrico e magnético se propagam pelo espaço na forma de ondas eletromagnéticas, viajando à velocidade:
E essa velocidade
é justamente a velocidade da luz!
Resposta
As equações de Maxwell, tanto na forma diferencial quanto na integral, juntamente com as relações constitutivas, descrevem como campos elétricos e magnéticos interagem e se propagam no espaço livre. A partir dessas equações, concluímos que as variações desses campos se propagam como ondas eletromagnéticas, viajando à velocidade da luz
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