Represente geometricamente o conjunto dos números complexos tais que |z-(1+\mathrm{i})| \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede: representar geometricamente o conjunto dos números complexos z que satisfazem a desigualdade |z-(1+\mathrm{i})| \leq 1.
Informações dadas: a expressão |z-(1+\mathrm{i})| envolve o módulo de um número complexo e o número complexo subtraído é 1+\mathrm{i}. A desigualdade usa \leq, então é incluído o caso de igualdade.

Passo 2

Entendendo o que é o módulo de um número complexo: se escrevemos um número complexo na forma \,z=x+\mathrm{i}y, onde \,x e \,y são números reais (essas são as coordenadas no plano), então o módulo |z| é a distância de z até a origem no plano complexo. A fórmula é
|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
onde x é a abscissa e y é a ordenada do ponto que representa z.

Passo 3

Interpretação da expressão |z-(1+\mathrm{i})|: subtrair 1+\mathrm{i} de z desloca o ponto correspondente a z no plano, e o módulo dessa diferença é a distância entre o ponto z e o ponto que representa 1+\mathrm{i}. Assim |z-(1+\mathrm{i})| é a distância entre z e o ponto (1,1) no plano.

Passo 4

Passando para coordenadas reais: escrevemos
z=x+\mathrm{i}y,
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z-(1+\mathrm{i})=(x-1)+\mathrm{i}(y-1).
Aplicando a definição do módulo,
|z-(1+\mathrm{i})|=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}.
A desigualdade do enunciado torna-se
\sqrt{(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}\leq 1.

Passo 5

Removendo a raiz (note que ambos os lados são não negativos) obtemos a equação/inequação padrão do disco:
(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\leq 1^{2}.
Isto é exatamente a região do plano formada por todos os pontos cuja distância ao ponto (1,1) é menor ou igual a 1.

Passo 6

Interpretação geométrica final e observações práticas: o conjunto é o disco fechado (ou seja, inclui a fronteira) de centro em (1,1) e raio 1. A fronteira (caso de igualdade) é o círculo de centro (1,1) e raio 1; o interior (caso de desigualdade estrita) são os pontos dentro desse círculo. Para testar pontos, por exemplo:
  • O ponto correspondente a z=1+\mathrm{i} (ou seja, (1,1)) satisfaz |z-(1+\mathrm{i})|=0\leq1 e está no centro.
  • O ponto z=2+\mathrm{i} (ou seja, (2,1)) satisfaz (2-1)^{2}+(1-1)^{2}=1 e fica na fronteira.
  • O ponto z=3+\mathrm{i} tem (3-1)^{2}=4>1 e está fora.

Resposta

Disco fechado de centro (1,1) e raio 1, i.e.
\{z\in\mathbb{C}\mid |z-(1+\mathrm{i})|\leq 1\}=\{x+\mathrm{i}y\mid (x-1)^{2}+(y-1)^{2}\leq 1\}.

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