Represente geometricamente o conjunto dos números complexos tais que
.
Passo 1
O enunciado pede: representar geometricamente o conjunto dos números complexos
que satisfazem a desigualdade
.
Informações dadas: a expressão envolve o módulo de um número complexo e o número complexo subtraído é
. A desigualdade usa
, então é incluído o caso de igualdade.
Informações dadas: a expressão
Passo 2
Entendendo o que é o módulo de um número complexo: se escrevemos um número complexo na forma
, onde
e
são números reais (essas são as coordenadas no plano), então o módulo
é a distância de
até a origem no plano complexo. A fórmula é
onde
é a abscissa e
é a ordenada do ponto que representa
.
Passo 3
Interpretação da expressão
: subtrair
de
desloca o ponto correspondente a
no plano, e o módulo dessa diferença é a distância entre o ponto
e o ponto que representa
. Assim
é a distância entre
e o ponto
no plano.
Passo 4
Passando para coordenadas reais: escrevemos
logo
Aplicando a definição do módulo,
A desigualdade do enunciado torna-se
Passo 5
Removendo a raiz (note que ambos os lados são não negativos) obtemos a equação/inequação padrão do disco:
Isto é exatamente a região do plano formada por todos os pontos cuja distância ao ponto
é menor ou igual a
.
Passo 6
Interpretação geométrica final e observações práticas: o conjunto é o disco fechado (ou seja, inclui a fronteira) de centro em
e raio
. A fronteira (caso de igualdade) é o círculo de centro
e raio
; o interior (caso de desigualdade estrita) são os pontos dentro desse círculo. Para testar pontos, por exemplo:
- O ponto correspondente a
(ou seja, ) satisfaz e está no centro. - O ponto
(ou seja, ) satisfaz e fica na fronteira. - O ponto
tem e está fora.
Resposta
Disco fechado de centro
e raio
, i.e.