Represente os seguintes números no plano complexo.
Passo 1
O enunciado pede para representar no plano complexo o número complexo
. Ou seja:
- Dado:
. - Pedido: indicar como esse número aparece no plano complexo (posição como ponto ou vetor, e informações relacionadas como módulo e argumento).
Passo 2
Lembrete rápido sobre como representar números complexos no plano:
- Um número complexo genérico escreve-se como
, onde é a parte real e é a parte imaginária. - No plano complexo (plano de Argand), a coordenada horizontal é a parte real e a coordenada vertical é a parte imaginária. Então o número
corresponde ao ponto no plano. - Também se costuma representar
como um vetor do ponto origem até .
Passo 3
Extrair a parte real e a parte imaginária de
:
- Escrevendo na forma
, temos . - Portanto a parte real é
. - A parte imaginária é
.
Passo 4
Coordenadas do ponto que representa
:
- Pelo passo anterior,
corresponde ao ponto com coordenadas . - Geometricamente isso fica sobre o eixo real, à direita da origem, a uma distância 7 da origem.
Passo 5
Cálculo do módulo e do argumento (informações úteis e frequentemente pedidas):
- O módulo de um complexo
é . Aplicando:
- O argumento principal de
(denotado ) é o ângulo tal que , levando em conta o quadrante. Aqui:
(Obs.: o argumento também pode ser escrito como
,
, mas o argumento principal normalmente é
.)
Passo 6
Formas alternativas de escrever
:
- Forma cartesiana / padrão:
. - Coordenadas no plano: ponto
. - Forma polar (trigonométrica):
. - Forma exponencial:
.
Passo 7
Como desenhar rapidamente na prova (passo a passo prático):
- Desenhe dois eixos perpendiculares; eixo horizontal é eixo real (marque como
), eixo vertical é eixo imaginário (marque como ). - Marque a unidade e conte até
no eixo real (à direita da origem). - Coloque um ponto no
. Opcional: desenhe o vetor do até e escreva e ao lado.
Isso basta — como, o ponto fica exatamente no eixo real.
Passo 8
Resumo final e incentivo:
é um número real positivo interpretado no plano complexo como o ponto
, com módulo
e argumento
. Você já fez a parte mais comum nas provas: identificar partes real e imaginária e colocar o ponto no eixo real. Vai dar certo — continue praticando outros casos com parte imaginária não nula para pegar mais confiança!
Resposta
Forma polar:
Forma exponencial: