Represente os seguintes números no plano complexo.
\mathrm{C}=4 \angle-230^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá o número complexo em forma polar \mathrm{C}=4\angle -230^\circ e pede para representá-lo no plano complexo. Vou listar claramente o que isso significa:
  • O módulo (distância à origem) é \,4.
  • O argumento (ângulo a partir do eixo real positivo) é -230^\circ.
    O objetivo é escrever \mathrm{C} na forma cartesiana (retangular) x+yi e indicar onde fica esse ponto no plano complexo.

Passo 2

Lembrete prático da relação entre formas polar e cartesiana:
\text{Se } z=r\angle\theta,\quad\text{então}\quad z=r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big).ã
Aqui r é o módulo (um número real positivo) e \theta é o argumento em graus (ou radianos). As componentes cartesiana são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde x é a abscissa (parte real) e y é a ordenada (parte imaginária).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso dado:
\mathrm{C}=4\big(\cos(-230^\circ)+i\sin(-230^\circ)\big).
É útil colocar o ângulo em uma faixa mais familiar. Como -230^\circ+360^\circ=130^\circ, os dois ângulos representam o mesmo vetor no plano (ângulos que diferem por 360^\circ são equivalentes). Então
\mathrm{C}=4\big(\cos(130^\circ)+i\sin(130^\circ)\big).

Passo 4

Explicando sinais e posição: 130^\circ fica no segundo quadrante (entre 90^\circ e 180^\circ), então a parte real será negativa e a parte imaginária será positiva. As componentes são
x = 4\cos(130^\circ),\qquad y = 4\sin(130^\circ).
Também podemos usar identidades trigonométricas para escrever em função de um ângulo agudo: 130^\circ=180^\circ-50^\circ, então
\cos(130^\circ)=-\cos(50^\circ),\qquad \sin(130^\circ)=\sin(50^\circ),
portanto
x = -4\cos(50^\circ),\qquad y = 4\sin(50^\circ).
Essa forma é útil se quiser relacionar com tabelas ou cálculos de \cos e \sin de ângulos agudos.

Passo 5

Se precisar de uma representação numérica (aproximação), calcula-se \cos(50^\circ) e \sin(50^\circ) com calculadora ou tabela trigonométrica. Usando valores aproximados:
\cos(50^\circ)\approx 0,642787\quad\text{e}\quad \sin(50^\circ)\approx 0,766044.
Multiplicando por 4:
x = -4\cos(50^\circ)\approx -4\cdot 0,642787 = -2,571150,
y = 4\sin(50^\circ)\approx 4\cdot 0,766044 = 3,064176.

Passo 6

Interpretação geométrica para desenhar no plano complexo:
  • Ponto com coordenadas (x,y)=(-2{,}571150,\;3{,}064176).
  • Está no segundo quadrante (parte real negativa, parte imaginária positiva).
  • Distância à origem é 4 e o ângulo medido positivo a partir do eixo real é 130^\circ (ou medido negativo, -230^\circ no sentido horário).

Resposta

\mathrm{C}=4\big(\cos(130^\circ)+i\sin(130^\circ)\big)
\mathrm{C}\approx -2{,}571150 + 3{,}064176\,i

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