Represente os seguintes números no plano complexo.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo em forma polar
e pede para representá-lo no plano complexo. Vou listar claramente o que isso significa:
- O módulo (distância à origem) é
. - O argumento (ângulo a partir do eixo real positivo) é
.
O objetivo é escreverna forma cartesiana (retangular) e indicar onde fica esse ponto no plano complexo.
Passo 2
Lembrete prático da relação entre formas polar e cartesiana:
Aqui
é o módulo (um número real positivo) e
é o argumento em graus (ou radianos). As componentes cartesiana são
onde
é a abscissa (parte real) e
é a ordenada (parte imaginária).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso dado:
É útil colocar o ângulo em uma faixa mais familiar. Como
, os dois ângulos representam o mesmo vetor no plano (ângulos que diferem por
são equivalentes). Então
Passo 4
Explicando sinais e posição:
fica no segundo quadrante (entre
e
), então a parte real será negativa e a parte imaginária será positiva. As componentes são
Também podemos usar identidades trigonométricas para escrever em função de um ângulo agudo:
, então
portanto
Essa forma é útil se quiser relacionar com tabelas ou cálculos de
e
de ângulos agudos.
Passo 5
Se precisar de uma representação numérica (aproximação), calcula-se
e
com calculadora ou tabela trigonométrica. Usando valores aproximados:
Multiplicando por
:
Passo 6
Interpretação geométrica para desenhar no plano complexo:
- Ponto com coordenadas
. - Está no segundo quadrante (parte real negativa, parte imaginária positiva).
- Distância à origem é
e o ângulo medido positivo a partir do eixo real é (ou medido negativo, no sentido horário).