- Um reservatório cônico, com vértice para baixo, contém água de volume
até uma altura
. Supondo que a evaporação da água se processa a uma taxa
proporcional à sua superfície, mostre que
decresce a uma taxa
constante
Passo 1
Resumindo: temos um reservatório em forma de cone (vértice para baixo) de altura total
e raio da boca
. Ele contém água até uma altura
, de volume
. Sabe-se que a evaporação faz o volume diminuir com taxa
com
constante. O objetivo é mostrar que
é constante (isto é, independe de
).
Passo 2
Pela semelhança de triângulos entre o cone cheio e o cone formado pela água, a relação entre o raio
da superfície livre e a altura
é
Passo 3
O volume de água é o de um cone de raio
e altura
, logo
Passo 4
A área da superfície livre da água é a área do círculo de raio
, ou seja
Passo 5
Calculamos primeiro
Pela regra da cadeia,
Passo 6
Como a evaporação faz
temos duas expressões para
. Igualando-as:
Cancelando
, fica
que é uma constante.