1. Um reservatório cônico, com vértice para baixo, contém água de volume V até uma altura h. Supondo que a evaporação da água se processa a uma taxa d V / d t proporcional à sua superfície, mostre que h decresce a uma taxa d h / d t constante

Passo 1

Resumindo: temos um reservatório em forma de cone (vértice para baixo) de altura total H e raio da boca R. Ele contém água até uma altura h(t), de volume V(t). Sabe­-se que a evaporação faz o volume diminuir com taxa
\frac{dV}{dt}=-k\cdot (\text{área da superfície livre})áí
com k>0 constante. O objetivo é mostrar que
\frac{dh}{dt}
é constante (isto é, independe de h).

Passo 2

Pela semelhança de triângulos entre o cone cheio e o cone formado pela água, a relação entre o raio r da superfície livre e a altura h é
\frac{r}{h}=\frac{R}{H} \quad\Longrightarrow\quad r=\frac{R}{H}\,h.

Passo 3

O volume de água é o de um cone de raio r e altura h, logo
V=\frac{1}{3}\,\pi\,r^2\,h =\frac{1}{3}\,\pi\, \Bigl(\frac{R}{H}h\Bigr)^{2}h =\frac{\pi R^{2}}{3H^{2}}\,h^{3}.

Passo 4

A área da superfície livre da água é a área do círculo de raio r, ou seja
A=\pi\,r^2 =\pi\, \Bigl(\frac{R}{H}h\Bigr)^{2} =\pi\,\frac{R^{2}}{H^{2}}\,h^{2}.

Passo 5

Calculamos primeiro
\frac{dV}{dh} =\frac{d}{dh}\Bigl(\tfrac{\pi R^{2}}{3H^{2}}\,h^{3}\Bigr) =\pi\,\frac{R^{2}}{H^{2}}\,h^{2}.
Pela regra da cadeia,
\frac{dV}{dt} =\frac{dV}{dh}\,\frac{dh}{dt} =\pi\,\frac{R^{2}}{H^{2}}\,h^{2}\,\frac{dh}{dt}.

Passo 6

Como a evaporação faz
\frac{dV}{dt}=-k\,A =-k\;\pi\,\frac{R^{2}}{H^{2}}\,h^{2},
temos duas expressões para \tfrac{dV}{dt}. Igualando-as:
\pi\,\frac{R^{2}}{H^{2}}\,h^{2}\,\frac{dh}{dt} =-k\;\pi\,\frac{R^{2}}{H^{2}}\,h^{2}.
Cancelando \pi\,\tfrac{R^{2}}{H^{2}}\,h^{2}\neq0, fica
\frac{dh}{dt}=-k,
que é uma constante.

Resposta

\displaystyle \frac{dh}{dt}=-k, ou seja, a altura decresce a uma taxa constante.

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