Numa residência em Minas Gerais, com fornecimento de energia na tensão de 127 V (valor eficaz), existem os seguintes equipamentos de utilização de energia elétrica:
i. Refrigerador, potência nominal: 310 W , fator de potência: 0,8 indutivo.
ii. Máquina de lavar roupas, potência nominal: 355 W , fator de potência: 0,85 indutivo.
iii. Chuveiro elétrico, potência nominal: 5500W;
iv. Ferro elétrico, potência nominal: 1200 W ;
v. Lâmpada LED (10 unidades), potência nominal: 11W, corrente nominal: 125 mA (capacitiva);
vi. Televisor 40 " LED, potência nominal: 110 W , corrente nominal: 1,08 A (capacitiva);
  1. Considerando cada carga separadamente, determine:
    a. o valor do módulo da corrente (eficaz) e do ângulo da corrente (considerando a tensão como referência) e a representação fasorial.
    b. os valores das impedâncias de cada uma das cargas na forma polar (módulo e ângulo) e na forma retangular (resistência e reatância).
    c. idem para as admitâncias (condutância e susceptância).
    d. os valores das potências ativa, reativa, aparente e do fator de potência para cada uma das cargas e os respectivos triângulos de potências.

Passo 1

O enunciado pede, para cada carga considerada separadamente:
  • (a) o módulo da corrente eficaz, o ângulo da corrente (tensão como referência) e a representação fasorial da corrente;
  • (b) a impedância de cada carga nas formas polar (módulo e ângulo) e retangular (resistência R e reatância X);
  • (c) a admitância de cada carga nas formas polar (módulo e ângulo) e retangular (condutância G e susceptância B);
  • (d) as potências ativa P, reativa Q, aparente S e o fator de potência pf para cada carga, com os respectivos triângulos de potências.
Dados fornecidos no enunciado (peguei estes valores do enunciado):
  • Tensão de fornecimento (valor eficaz): V_{\text{rms}} = 127\\ \text{V}.
  • Refrigerador: P=310\\ \text{W}, pf=0,8 (indutivo).
  • Máquina de lavar: P=355\\ \text{W}, pf=0,85 (indutivo).
  • Chuveiro elétrico: P=5500\\ \text{W} (assume-se carga puramente resistiva; pf=1).
  • Ferro elétrico: P=1200\\ \text{W} (assume-se carga puramente resistiva; pf=1).
  • Lâmpadas LED: 10 unidades, cada uma com P=11\\ \text{W} e corrente nominal I_{\text{nom}}=0,125\\ \text{A} (capacitiva). Vou tratar o conjunto das 10 lâmpadas como uma única carga agregada.
  • Televisor 40’ LED: P=110\\ \text{W}, corrente nominal I_{\text{nom}}=1,08\\ \text{A} (capacitiva).
A resolução começa agora, com definições e fórmulas que vou usar.

Passo 2

Regras, fórmulas e convenções que vou usar (explicação didática e passo a passo):
  1. Corrente eficaz (módulo) quando se conhece a potência ativa P e o fator de potência pf:
I = \frac{P}{V_{\text{rms}}\;pf}.
  • Aqui I é o valor eficaz da corrente (em ampères), P a potência ativa em watts e V_{\text{rms}} a tensão eficaz em volts.
  • Intuição: P = V I \cos\varphi com \cos\varphi = pf; portanto I = P/(V\cos\varphi).
  1. Ângulo entre tensão e corrente:
\varphi = \operatorname{arccos}(pf).
  • Convenção de sinais (muito importante): tomo a tensão como referência V=V\angle 0^\circ.
    • Se a carga for indutiva, a corrente atrasa a tensão; então a fasor da corrente é I\angle(-\varphi) (corrente com ângulo negativo).
    • Se a carga for capacitiva, a corrente adianta a tensão; então a fasor da corrente é I\angle(+\varphi).
    • Se pf=1, então \varphi=0^\circ e I tem ângulo 0^\circ.
  1. Impedância da carga (por lei de Ohm fasorial):
Z = \frac{V}{I} \quad\text{(em forma polar: }|Z|\angle\theta_Z\text{)}.
  • Como V é referência 0^\circ e I tem ângulo \angle I, então
\theta_Z = 0^\circ - \angle I = -\angle I.
  • Em palavras: se I atrasa ( \angle I=-\varphi), então \theta_Z=+\varphi (reatância indutiva positiva). Se I adianta ( \angle I=+\varphi), então \theta_Z=-\varphi (reatância capacitiva negativa).
  1. Converter impedância polar para retangular:
R = |Z|\cos\theta_Z,\qquad X = |Z|\sin\theta_Z.
  • R é a resistência (Ω), X a reatância (Ω, positiva para indutiva, negativa para capacitiva).
  1. Admitância:
Y = \frac{1}{Z} \quad\text{(polar: }|Y|=1/|Z|,\\ \angle Y=-\angle Z\text{)}.
  • Em retangular:
G = |Y|\cos\theta_Y,\qquad B = |Y|\sin\theta_Y,
onde G é a condutância (S) e B a susceptância (S). Para cargas capacitivas B>0; para indutivas B<0 se a impedância for predominantemente indutiva (lembre o sinal de \theta_Y).
  1. Potências:
  • Potência aparente: \displaystyle S = V_{\text{rms}} I (em VA).
  • Potência ativa: P (W) — dada ou usada.
  • Potência reativa: \displaystyle Q = P\tan\varphi; sinal: Q>0 para indutância (indutivo), Q<0 para capacitância (capacitivo).
  • Relação pitagórica: \displaystyle S = \sqrt{P^2+Q^2}, e pf = \cos\varphi = \dfrac{P}{S}.
  1. Representações fasoriais:
  • Corrente fasorial: I = I\angle\alpha com \alpha indicado como explicado no item 2.
  • Impedância fasorial: Z = |Z|\angle\theta_Z.
  • Admitância fasorial: Y = |Y|\angle\theta_Y.
Agora aplico essas fórmulas carga a carga. Vou calcular números e explicar cada operação, com atenção às unidades e ao significado físico.

Passo 3

Dados: V_{\text{rms}}=127\\ \text{V}, P=310\\ \text{W}, pf=0,8 (indutivo).
  1. Ângulo:
\varphi = \operatorname{arccos}(0{,}8) = 36{,}87^\circ.
  1. Corrente eficaz (módulo):
I = \frac{310}{127\cdot 0{,}8} = \frac{310}{101{,}6} = 3{,}051\\ \text{A}.
  1. Como é indutivo, a corrente atrasa a tensão: fasor da corrente
I = 3{,}051\angle(-36{,}87^\circ)\\ \text{A}.

Passo 4

  1. Módulo da impedância:
|Z| = \frac{V}{I} = \frac{127}{3{,}051} = 41{,}628\\ \Omega.
  1. Ângulo da impedância:
\theta_Z = -\angle I = -(-36{,}87^\circ) = +36{,}87^\circ.
  1. Forma polar:
Z = 41{,}628\angle 36{,}87^\circ\\ \Omega.
  1. Forma retangular:
R = |Z|\cos\theta_Z = 41{,}628\cdot 0{,}8 = 33{,}302\\ \Omega,
X = |Z|\sin\theta_Z = 41{,}628\cdot 0{,}6 = 24{,}977\\ \Omega.

Passo 5

  1. Admitância polar:
|Y| = \frac{1}{|Z|} = \frac{1}{41{,}628} = 0{,}02403\\ \text{S},
\angle Y = -\theta_Z = -36{,}87^\circ,
Y = 0{,}02403\angle(-36{,}87^\circ)\\ \text{S}.
  1. Admitância retangular:
G = |Y|\cos(-36{,}87^\circ)=0{,}02403\cdot 0{,}8 = 0{,}01922\\ \text{S},
B = |Y|\sin(-36{,}87^\circ)=0{,}02403\cdot(-0{,}6) = -0{,}01442\\ \text{S}.
  1. Potências:
S = V\cdot I = 127\cdot 3{,}051 = 387{,}50\\ \text{VA},
P = 310{,}00\\ \text{W}\\ (\text{dado}),
Q = P\tan\varphi = 310\cdot \tan(36{,}87^\circ)=310\cdot 0{,}75 = 232{,}50\\ \text{var} \quad(\text{indutivo, }Q>0).
Confere: S=\sqrt{P^2+Q^2}=\sqrt{310^2+232{,}5^2}\approx 387{,}50\\ \text{VA}.

Passo 6

Dados: P=355\\ \text{W}, pf=0,85 (indutivo).
  1. Ângulo:
\varphi = \operatorname{arccos}(0{,}85)=31{,}79^\circ.
  1. Corrente:
I = \frac{355}{127\cdot 0{,}85} = \frac{355}{107{,}95} = 3{,}287\\ \text{A}.
  1. Fasor (indutivo, corrente atrasa):
I = 3{,}287\angle(-31{,}79^\circ)\\ \text{A}.

Passo 7

  1. Módulo:
|Z| = \frac{127}{3{,}287} = 38{,}655\\ \Omega.
  1. Ângulo:
\theta_Z = -\angle I = +31{,}79^\circ.
  1. Polar:
Z = 38{,}655\angle 31{,}79^\circ\\ \Omega.
  1. Retangular:
R = 38{,}655\cdot\cos 31{,}79^\circ = 38{,}655\cdot 0{,}85 = 32{,}857\\ \Omega,
X = 38{,}655\cdot\sin 31{,}79^\circ = 38{,}655\cdot 0{,}52678 = 20{,}363\\ \Omega.

Passo 8

  1. Admitância:
|Y| = \frac{1}{38{,}655} = 0{,}02587\\ \text{S},\qquad \angle Y = -31{,}79^\circ,
Y = 0{,}02587\angle(-31{,}79^\circ)\\ \text{S}.
  1. Retangular:
G = 0{,}02587\cdot 0{,}85 = 0{,}02199\\ \text{S},
B = 0{,}02587\cdot\sin(-31{,}79^\circ) = -0{,}01363\\ \text{S}.
  1. Potências:
I = 3{,}287\\ \text{A},\quad S = V I = 127\cdot 3{,}287 = 417{,}48\\ \text{VA},
P = 355{,}00\\ \text{W},
Q = P\tan\varphi = 355\cdot\tan(31{,}79^\circ)=355\cdot 0{,}6191 = 219{,}29\\ \text{var}\\ (\text{indutivo}).
Confere: S\approx\sqrt{355^2+219{,}29^2}=417{,}48\\ \text{VA}.

Passo 9

Dados: carga resistiva típica de chuveiro, pf=1.
  1. Ângulo:
\varphi = \operatorname{arccos}(1)=0^\circ.
  1. Corrente:
I = \frac{5500}{127\cdot 1} = \frac{5500}{127} = 43{,}307\\ \text{A}.
  1. Fasor:
I = 43{,}307\angle 0^\circ\\ \text{A}.

Passo 10

  1. Impedância:
|Z| = \frac{127}{43{,}307} = 2{,}9333\\ \Omega,\qquad \theta_Z=0^\circ,
Z = 2{,}9333\angle 0^\circ\\ \Omega\quad\Rightarrow\quad R=2{,}9333\\ \Omega,\\ X=0.
  1. Admitância:
Y = \frac{1}{2{,}9333} = 0{,}3410\angle 0^\circ\\ \text{S},\quad G=0{,}3410\\ \text{S},\\ B=0.
  1. Potências:
I = 43{,}307\\ \text{A},\quad S = 127\cdot 43{,}307 = 5500\\ \text{VA},
P = 5500\\ \text{W},\quad Q = 0\\ \text{var},\quad pf=1.

Passo 11

  1. Ângulo:
\varphi = 0^\circ.
  1. Corrente:
I = \frac{1200}{127} = 9{,}449\\ \text{A}.
  1. Fasor:
I = 9{,}449\angle 0^\circ\\ \text{A}.

Passo 12

  1. Impedância:
|Z| = \frac{127}{9{,}449} = 13{,}444\\ \Omega,\qquad \theta_Z=0^\circ,
Z = 13{,}444\angle 0^\circ\\ \Omega,\quad R=13{,}444\\ \Omega,\\ X=0.
  1. Admitância:
Y = \frac{1}{13{,}444} = 0{,}07439\angle 0^\circ\\ \text{S},\quad G=0{,}07439\\ \text{S},\\ B=0.
  1. Potências:
I = 9{,}449\\ \text{A},\quad S = 127\cdot 9{,}449 = 1200\\ \text{VA},
P = 1200\\ \text{W},\quad Q = 0\\ \text{var},\quad pf=1.

Passo 13

Tratamento: agrupo as 10 lâmpadas como uma única carga:
  • Potência total: P_{\text{LED}} = 10\cdot 11 = 110\\ \text{W}.
  • Corrente total (nominal informado por lâmpada): I_{\text{tot}} = 10\cdot 0{,}125 = 1{,}25\\ \text{A}.
  • Potência aparente total:
S = V\cdot I_{\text{tot}} = 127\cdot 1{,}25 = 158{,}75\\ \text{VA}.
  • Fator de potência:
pf = \frac{P}{S} = \frac{110}{158{,}75} = 0{,}6931.
  • Ângulo (capacitivo, corrente adianta):
\varphi = \operatorname{arccos}(0{,}6931) \approx 46{,}06^\circ,
isto é \angle I = +46{,}06^\circ.
  • Verificação da corrente com pf:
I = \frac{P}{V\,pf}=\frac{110}{127\cdot 0{,}6931}=1{,}25\\ \text{A}\\ (\text{coerente}).

Passo 14

  1. Impedância:
|Z| = \frac{127}{1{,}25} = 101{,}600\\ \Omega,
\theta_Z = -\angle I = -46{,}06^\circ
(pois a corrente adianta, então a impedância tem ângulo negativo: reatância capacitiva).
2) Polar:
Z = 101{,}600\angle(-46{,}06^\circ)\\ \Omega.
  1. Retangular:
R = 101{,}600\cdot\cos(-46{,}06^\circ)=101{,}600\cdot 0{,}6931 = 70{,}420\\ \Omega,
X = 101{,}600\cdot\sin(-46{,}06^\circ)=101{,}600\cdot(-0{,}7207) = -73{,}220\\ \Omega.

Passo 15

  1. Admitância:
|Y| = \frac{1}{101{,}600} = 0{,}009843\\ \text{S},\qquad \angle Y = -\theta_Z = +46{,}06^\circ,
Y = 0{,}009843\angle 46{,}06^\circ\\ \text{S}.
  1. Retangular:
G = 0{,}009843\cdot\cos 46{,}06^\circ = 0{,}009843\cdot 0{,}6931 = 0{,}006823\\ \text{S},
B = 0{,}009843\cdot\sin 46{,}06^\circ = 0{,}009843\cdot 0{,}7207 = 0{,}007093\\ \text{S}\\ (\text{positivo, capacitivo}).
  1. Potências:
S = 158{,}75\\ \text{VA},\quad P = 110\\ \text{W},
Q = P\tan\varphi = 110\cdot\tan(46{,}06^\circ)=110\cdot 1{,}040 = 114{,}49\\ \text{var}.
Como as lâmpadas são capacitive, a reativa é capacitiva: Q = -114{,}49\\ \text{var} (sinal negativo para reatividade capacitiva).
Confere: S=\sqrt{110^2+(-114{,}49)^2}\approx 158{,}75\\ \text{VA}.

Passo 16

Dados: I_{\text{nom}}=1{,}08\\ \text{A} (dado), V=127\\ \text{V}.
  1. Potência aparente:
S = V\cdot I_{\text{nom}} = 127\cdot 1{,}08 = 137{,}16\\ \text{VA}.
  1. Fator de potência:
pf = \frac{P}{S} = \frac{110}{137{,}16} = 0{,}8020.
  1. Ângulo (capacitivo, corrente adianta):
\varphi = \operatorname{arccos}(0{,}8020) \approx 36{,}45^\circ,
logo \angle I = +36{,}45^\circ.
4) Verificação corrente a partir de P e pf:
I = \frac{P}{V\;pf} = \frac{110}{127\cdot 0{,}8020}\approx 1{,}08\\ \text{A}\\ (\text{coerente com o dado}).

Passo 17

  1. Impedância:
|Z| = \frac{127}{1{,}08} = 117{,}593\\ \Omega,
\theta_Z = -\angle I = -36{,}45^\circ.
  1. Polar:
Z = 117{,}593\angle(-36{,}45^\circ)\\ \Omega.
  1. Retangular:
R = 117{,}593\cdot\cos(-36{,}45^\circ)=117{,}593\cdot 0{,}8020 = 94{,}334\\ \Omega,
X = 117{,}593\cdot\sin(-36{,}45^\circ)=117{,}593\cdot(-0{,}5972) = -70{,}27\\ \Omega.

Passo 18

  1. Admitância:
|Y| = \frac{1}{117{,}593} = 0{,}008504\\ \text{S},\qquad \angle Y = +36{,}45^\circ,
Y = 0{,}008504\angle 36{,}45^\circ\\ \text{S}.
  1. Retangular:
G = 0{,}008504\cdot 0{,}8020 = 0{,}006824\\ \text{S},
B = 0{,}008504\cdot 0{,}5972 = 0{,}005081\\ \text{S}\\ (\text{positivo, capacitivo}).
  1. Potências:
S = 137{,}16\\ \text{VA},\quad P = 110\\ \text{W},
Q = P\tan\varphi = 110\cdot\tan(36{,}45^\circ)=110\cdot 0{,}7449 = 81{,}94\\ \text{var}.
Como a carga é capacitiva, Q = -81{,}94\\ \text{var} (reativa capacitiva).
Confere: S=\sqrt{110^2+(-81{,}94)^2}\approx 137{,}16\\ \text{VA}.

Resposta

Refrigerador:
  • I=3{,}051\\ \text{A},\\ \angle I=-36{,}87^\circ,\\ I=3{,}051\angle(-36{,}87^\circ)\\ \text{A}
  • Z=41{,}628\angle 36{,}87^\circ\\ \Omega \Rightarrow R=33{,}302\\ \Omega,\\ X=24{,}977\\ \Omega
  • Y=0{,}02403\angle(-36{,}87^\circ)\\ \text{S} \Rightarrow G=0{,}01922\\ \text{S},\\ B=-0{,}01442\\ \text{S}
  • P=310\\ \text{W},\\ Q=+232{,}50\\ \text{var},\\ S=387{,}50\\ \text{VA},\\ pf=0{,}8
Máquina de lavar:
  • I=3{,}287\\ \text{A},\\ \angle I=-31{,}79^\circ,\\ I=3{,}287\angle(-31{,}79^\circ)\\ \text{A}
  • Z=38{,}655\angle 31{,}79^\circ\\ \Omega \Rightarrow R=32{,}857\\ \Omega,\\ X=20{,}363\\ \Omega
  • Y=0{,}02587\angle(-31{,}79^\circ)\\ \text{S} \Rightarrow G=0{,}02199\\ \text{S},\\ B=-0{,}01363\\ \text{S}
  • P=355\\ \text{W},\\ Q=+219{,}29\\ \text{var},\\ S=417{,}48\\ \text{VA},\\ pf=0{,}85
Chuveiro:
  • I=43{,}307\\ \text{A},\\ \angle I=0^\circ,\\ I=43{,}307\angle 0^\circ\\ \text{A}
  • Z=2{,}9333\angle 0^\circ\\ \Omega \Rightarrow R=2{,}9333\\ \Omega,\\ X=0
  • Y=0{,}3410\angle 0^\circ\\ \text{S} \Rightarrow G=0{,}3410\\ \text{S},\\ B=0
  • P=5500\\ \text{W},\\ Q=0\\ \text{var},\\ S=5500\\ \text{VA},\\ pf=1
Ferro elétrico:
  • I=9{,}449\\ \text{A},\\ \angle I=0^\circ,\\ I=9{,}449\angle 0^\circ\\ \text{A}
  • Z=13{,}444\angle 0^\circ\\ \Omega \Rightarrow R=13{,}444\\ \Omega,\\ X=0
  • Y=0{,}07439\angle 0^\circ\\ \text{S} \Rightarrow G=0{,}07439\\ \text{S},\\ B=0
  • P=1200\\ \text{W},\\ Q=0\\ \text{var},\\ S=1200\\ \text{VA},\\ pf=1
Lâmpadas LED (10 unid., agregadas):
  • I_{\text{tot}}=1{,}25\\ \text{A},\\ \angle I=+46{,}06^\circ,\\ I=1{,}25\angle(+46{,}06^\circ)\\ \text{A}
  • Z=101{,}600\angle(-46{,}06^\circ)\\ \Omega \Rightarrow R=70{,}420\\ \Omega,\\ X=-73{,}220\\ \Omega
  • Y=0{,}009843\angle 46{,}06^\circ\\ \text{S} \Rightarrow G=0{,}006823\\ \text{S},\\ B=0{,}007093\\ \text{S}
  • P=110\\ \text{W},\\ Q=-114{,}49\\ \text{var},\\ S=158{,}75\\ \text{VA},\\ pf=0{,}6931
Televisor 40" LED:
  • I=1{,}08\\ \text{A},\\ \angle I=+36{,}45^\circ,\\ I=1{,}08\angle(+36{,}45^\circ)\\ \text{A}
  • Z=117{,}593\angle(-36{,}45^\circ)\\ \Omega \Rightarrow R=94{,}334\\ \Omega,\\ X=-70{,}27\\ \Omega
  • Y=0{,}008504\angle 36{,}45^\circ\\ \text{S} \Rightarrow G=0{,}006824\\ \text{S},\\ B=0{,}005081\\ \text{S}
  • P=110\\ \text{W},\\ Q=-81{,}94\\ \text{var},\\ S=137{,}16\\ \text{VA},\\ pf=0{,}8020

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