1. A resistência eléctrica de um fio de alumínio de massa 4,24 \mathrm{~g} é igual a 42,2 \Omega. A densidade e a resistência específica do alumínio, são respectivamente, 2,7 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e 2,65.10^{-8} \Omega \mathrm{~m}. Determine o diâmetro e o comprimento do fio.

Passo 1

O enunciado dá um fio de alumínio com massa 4,24\\ \mathrm{g} e resistência elétrica 42,2\\ \Omega. A densidade do alumínio é 2,7\\ \mathrm{g/cm^{3}} e a resistividade é 2,65\times10^{-8}\\ \Omega\mathrm{\,m}. Queremos achar o comprimento L e o diâmetro d do fio usando as relações de densidade (para o volume) e de resistividade (para a resistência).

Passo 2

Convertendo para o SI, temos massa e densidade
m = 4{,}24\\ \mathrm{g} = 4{,}24\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}, \quad \rho_{m} = 2{,}7\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 2{,}7\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
O volume do fio é
V = \frac{m}{\rho_{m}} = \frac{4{,}24\times10^{-3}}{2{,}7\times10^{3}} \approx 1{,}57\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 3

A resistência elétrica do fio relaciona-se com resistividade, comprimento e área de seção reta:
R = \rho_{e}\,\frac{L}{A},
e o volume também é dado por
V = A\,L.
Substituindo A = V/L em R resulta
R = \rho_{e}\,\frac{L}{V/L} = \rho_{e}\,\frac{L^{2}}{V} \;\Longrightarrow\; L = \sqrt{\frac{R\,V}{\rho_{e}}}\,.

Passo 4

Substituindo valores em
L = \sqrt{\frac{(42{,}2)\,(1{,}57\times10^{-6})}{2{,}65\times10^{-8}}} \approx 50{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 5

A área da seção reta é
A = \frac{V}{L} = \frac{1{,}57\times10^{-6}}{50{,}0} \approx 3{,}14\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 6

O diâmetro do fio vem de A = \pi d^{2}/4, isto é,
d = \sqrt{\frac{4\,A}{\pi}} = \sqrt{\frac{4\,(3{,}14\times10^{-8})}{\pi}} \approx 2{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m} \approx 0{,}20\\ \mathrm{mm}.

Resposta

O comprimento do fio é L = 50{,}0\\ \mathrm{m} e o diâmetro é d \approx 2{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m} (ou 0{,}20\\ \mathrm{mm}).

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