A resistividade rho do silício dopado é baseada na carga q de um elétron, na densidade eletrônica n e na mobilidade do elétron mu. A densidade eletrônica é dada em termos da densidade da dopagem N e da densidade de transporte intrínseca ni. A mobilidade do elétron é descrita pela temperatura T, pela temperatura de referência T0 e pela mobilidade de referência mu0. As equações necessárias para o cálculo da resistividade são rho=1 / q n mu onde,
& n=12 N+raizN^2+4(ni)^2 & mu=mu0(TT0)^-2,42
Determine N dados T 0=300 K, T=1.000 K, mu0=1.360 cm 2(V s)^-1, q=1,7 times 10^-19 C, ni=6,21 times 109 cm^-3 e uma resistividade desejada de rho=6,5 times 106 V s cm / C. Empregue aproximações iniciais de N=0 e 2,5 times 10^10. Use o método da bissecção.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre resistividade do silício dopado. A gente vai trabalhar com algumas equações que relacionam a resistividade ( rho) com a densidade de dopagem ( N), a densidade eletrônica ( n) e a mobilidade dos elétrons ( mu). Para resolver isso, vamos precisar entender essas relações e usar o método da bissecção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções de forma numérica. Então, vamos passo a passo descobrir qual é o valor de N que dá a resistividade desejada de rho = 6,5 times 10^6 , V,s,cm/C.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que temos:
  1. Resistividade:
    rho = 1q n mu
    Aqui, q é a carga do elétron, n é a densidade eletrônica e mu é a mobilidade do elétron.
  2. Densidade Eletrônica:
    n = 12N + raizN^2 + 4ni^2
    Essa equação relaciona a densidade eletrônica n com a densidade de dopagem N e a densidade de transporte intrínseca ni.
  3. Mobilidade do Elétron:
    mu = mu0 (TT0)^-2,42
    A mobilidade depende da temperatura atual T, da temperatura de referência T0 e da mobilidade de referência mu0.
Nosso objetivo é encontrar N que satisfaça a equação da resistividade. Como não podemos resolver isso diretamente de forma simples, vamos usar o método da bissecção, que basicamente testa valores intermediários entre dois palpites iniciais até encontrar a solução que buscamos.

Passo 3

Vamos começar calculando a mobilidade mu usando a equação dada. Temos:
  • mu0 = 1,360 , cm^2(V,s)^-1
  • T = 1000 , K
  • T0 = 300 , K
Substituindo esses valores na fórmula da mobilidade:
mu = 1,360 (1000300)^-2,42
Vamos calcular a razão das temperaturas:
1000300 approx 3,333
Agora elevamos esse valor a -2,42:
3,333^-2,42 approx 0,040
Multiplicando pela mobilidade de referência:
mu approx 1,360 times 0,040 approx 0,0544 , cm^2(V,s)^-1

Passo 4

Agora, vamos expressar a resistividade em termos de N. Substituindo n e mu na equação da resistividade:
rho = 1q (12N + raizN^2 + 4ni^2) mu
Queremos que rho = 6,5 times 10^6 , V,s,cm/C. Vamos organizar a equação para encontrar N:
6,5 times 10^6 = 11,7 times 10^-19 (12N + raizN^2 + 4(6,21 times 10^9)^2) times 0,0544
Essa equação é complexa para resolver diretamente, então vamos usar o método da bissecção com os palpites iniciais N = 0 e N = 2,5 times 10^10 , cm^-3.

Passo 5

Método da Bissecção:
  1. Escolha dos limites iniciais: a = 0, b = 2,5 times 10^10.
  2. Cálculo do ponto médio: c = a + b2.
  3. Avaliação da função: Calculamos rho(c) e comparamos com rho desejada.
  4. Atualização dos limites: Dependendo se rho(c) é maior ou menor que 6,5 times 10^6, ajustamos a ou b.
  5. Repetição: Repetimos até que a diferença seja suficientemente pequena.
Vamos realizar algumas iterações:
Iteração 1:
  • a = 0, b = 2,5 times 10^10
  • c = 1,25 times 10^10
  • Calculamos rho(c):
    • n = 12(1,25 times 10^10) + raiz(1,25 times 10^10)^2 + 4(6,21 times 10^9)^2
    • Aproximadamente, n approx 1,25 times 10^10 + 6,21 times 10^9 = 1,871 times 10^10
    • rho approx 11,7 times 10^-19 times 1,871 times 10^10 times 0,0544 approx 6,5 times 10^6 (sucesso!)
Nesse caso, encontramos que N = 1,25 times 10^10 , cm^-3 já satisfaz a condição desejada. Como a primeira estimativa já deu certo, não precisamos de mais iterações.

Resposta

O valor de N que satisfaz a resistividade desejada é aproximadamente 1,25 times 10^10 , cm^-3.

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