Resolva aa equação diferencial 
  
  usando a técnica da transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial 
  usando a técnica da transformada de Laplace. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e Transformadas de Laplace. Vamos precisar aplicar as propriedades da transformada de Laplace para derivadas e resolver a equação no domínio de 
 .
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de 
  é 
 , de 
  é 
 , e de 
  é simplesmente 
 . Como 
  e 
 , as equações simplificam.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace:
Substituindo pelas transformadas:
Simplificando:
Passo 4
Agora, fatoramos 
  no lado esquerdo:
Para isolar 
 , dividimos ambos os lados pela expressão quadrática:
Passo 5
Vamos fatorar o denominador 
 :
Então, 
  fica:
Passo 6
Para simplificar a inversa da transformada, usamos frações parciais. Escrevemos:
Passo 7
Multiplicamos ambos os lados por 
  para eliminar os denominadores:
Passo 8
Escolhemos valores de 
  que simplificam a equação. Por exemplo, 
 :
Outro valor, 
 :
Passo 9
Para encontrar 
  e 
 , podemos escolher outro valor, por exemplo, 
 :
Sabendo que 
  e 
 :
Passo 10
Agora, voltamos para a equação original de frações parciais para encontrar 
 . Expandindo e comparando os coeficientes, encontramos que 
 .
Passo 11
Com todos os valores de 
 , temos:
Passo 12
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:
Resposta
A solução da equação diferencial é: