Resolva cada uma das EDOs de 2^{\mathrm{a}} ordem a seguir.
\left\{\begin{aligned} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 \frac{d y}{d x}+5 y & =0 \\\ y(0) & =3 \\\ \frac{d y}{d x}(0) & =-2\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de 2ª ordem com condições iniciais. As informações dadas são:
  • Equação diferencial:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 4\frac{dy}{dx} + 5y = 0
  • Condições iniciais:
y(0)=3,\qquad \frac{dy}{dx}(0)=-2.
O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Como método vamos buscar soluções da forma exponencial para a equação homogênea de coeficientes constantes. A ideia é substituir y=e^{rx} na equação para obter uma equação algébrica (a equação característica) em r. Esse procedimento é o mais direto aqui porque os coeficientes são constantes e a equação é linear homogênea.

Passo 3

Formamos a equação característica associada substituindo y=e^{rx}:
r^{2}+4r+5=0.
Resolvemos essa quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
r=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot 1\cdot 5}}{2\cdot 1} =\dfrac{-4\pm\sqrt{16-20}}{2} =\dfrac{-4\pm\sqrt{-4}}{2}.
Como \sqrt{-4}=2i, obtemos
r=\dfrac{-4\pm 2i}{2}=-2\pm i.

Passo 4

Quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas r=a\pm bi (aqui a=-2, b=1), a forma geral das soluções reais é
y(x)=e^{ax}\bigl(C_{1}\cos(bx)+C_{2}\sin(bx)\bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais. Isso vem da combinação linear das soluções complexas e^{(a+bi)x} e e^{(a-bi)x} e do fato de que exponenciais complexas podem ser reescritas em termos de senos e cossenos pela fórmula de Euler.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso ( a=-2, b=1), a solução geral é
y(x)=e^{-2x}\bigl(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\bigr).

Passo 6

Agora usamos a condição inicial y(0)=3. Calculando y(0):
y(0)=e^{0}\bigl(C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0\bigr)=1\cdot(C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0)=C_{1}.
Portanto
C_{1}=3.

Passo 7

Precisamos de C_{2}. Para isso calculamos a derivada y'(x) e aplicamos \dfrac{dy}{dx}(0)=-2. Derivando y(x)=e^{-2x}(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x) por produto:
  • derivada de e^{-2x} é -2e^{-2x};
  • derivada de C_{1}\cos x + C_{2}\sin x é -C_{1}\sin x + C_{2}\cos x.
    Usando a regra do produto:
y'(x)=e^{-2x}\bigl(-C_{1}\sin x + C_{2}\cos x\bigr)+(-2)e^{-2x}\bigl(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\bigr).
Fatorando e^{-2x}:
y'(x)=e^{-2x}\Bigl((-C_{1}\sin x + C_{2}\cos x)-2(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x)\Bigr).
Organizando os termos de \sin x e \cos x:
y'(x)=e^{-2x}\Bigl((C_{2}-2C_{1})\cos x - (C_{1}+2C_{2})\sin x\Bigr).

Passo 8

Agora avaliamos em x=0:
y'(0)=e^{0}\Bigl((C_{2}-2C_{1})\cos 0 - (C_{1}+2C_{2})\sin 0\Bigr)=(C_{2}-2C_{1})\cdot 1 - (\cdot)\cdot 0 = C_{2}-2C_{1}.
A condição inicial diz y'(0)=-2, e já sabemos C_{1}=3. Logo:
C_{2}-2\cdot 3 = -2 \quad\Rightarrow\quad C_{2}-6=-2 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=4.

Passo 9

Substituindo C_{1}=3 e C_{2}=4 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x)=e^{-2x}\bigl(3\cos x + 4\sin x\bigr).
Bom trabalho — essa é a solução única do problema com as condições dadas.

Resposta

y(x)=e^{-2x}\bigl(3\cos x + 4\sin x\bigr)