Resolva cada uma das EDOs de 2^{\mathrm{a}} ordem a seguir. \left\{\begin{aligned} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 \frac{d y}{d x}+5 y & =0 \\\ y(0) & =3 \\\ \frac{d y}{d x}(0) & =-2\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de 2ª ordem com condições iniciais. As informações dadas são:
Equação diferencial:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + 4\frac{dy}{dx} + 5y = 0
Condições iniciais:
y(0)=3,\qquad \frac{dy}{dx}(0)=-2.
O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Como método vamos buscar soluções da forma exponencial para a equação homogênea de coeficientes constantes. A ideia é substituir y=e^{rx} na equação para obter uma equação algébrica (a equação característica) em r. Esse procedimento é o mais direto aqui porque os coeficientes são constantes e a equação é linear homogênea.
Passo 3
Formamos a equação característica associada substituindo y=e^{rx}:
r^{2}+4r+5=0.
Resolvemos essa quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais. Isso vem da combinação linear das soluções complexas e^{(a+bi)x} e e^{(a-bi)x} e do fato de que exponenciais complexas podem ser reescritas em termos de senos e cossenos pela fórmula de Euler.
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso (a=-2, b=1), a solução geral é
y(x)=e^{-2x}\bigl(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\bigr).
Passo 6
Agora usamos a condição inicial y(0)=3. Calculando y(0):
Precisamos de C_{2}. Para isso calculamos a derivada y'(x) e aplicamos \dfrac{dy}{dx}(0)=-2. Derivando y(x)=e^{-2x}(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x) por produto:
derivada de e^{-2x} é -2e^{-2x};
derivada de C_{1}\cos x + C_{2}\sin x é -C_{1}\sin x + C_{2}\cos x.
Usando a regra do produto:
y'(x)=e^{-2x}\bigl(-C_{1}\sin x + C_{2}\cos x\bigr)+(-2)e^{-2x}\bigl(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\bigr).
Fatorando e^{-2x}:
y'(x)=e^{-2x}\Bigl((-C_{1}\sin x + C_{2}\cos x)-2(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x)\Bigr).
Organizando os termos de \sin x e \cos x:
y'(x)=e^{-2x}\Bigl((C_{2}-2C_{1})\cos x - (C_{1}+2C_{2})\sin x\Bigr).