Resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros e defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
usando o método da variação dos parâmetros. Para isso, precisamos entender que estamos lidando com uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e, em seguida, encontrar uma solução particular para a equação não homogênea.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Para encontrar a solução dessa equação, buscamos raízes características da equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
usando o método da variação dos parâmetros. O método requer que conheçamos as soluções da equação homogênea, que já encontramos como
e
.
A forma da solução particular é:
onde
e
são funções a serem determinadas.
Passo 4
Para encontrar
e
, usamos as seguintes expressões:
onde
e
é o Wronskiano das soluções
e
.
Calculando o Wronskiano:
Então:
Passo 5
Agora, substituímos no sistema para encontrar
e
:
Passo 6
Integrando
e
para encontrar
e
:
Essas integrais não possuem soluções em termos de funções elementares, então a solução particular será expressa usando essas integrais.
Passo 7
Assim, a solução geral da equação diferencial é:
Simplificando:
Note que as integrais se cancelam parcialmente, mas a expressão geral da solução envolve essas integrais que não podem ser expressas de forma elementar.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é dada por:
onde
e
são constantes arbitrárias. A solução é válida no intervalo onde
está definida e diferente de zero, ou seja, para
e
.