Resolva cada inequação:
\frac{(3 x+2) e^{\sqrt{3-x}}}{x+7}>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{(3x+2)\,e^{\sqrt{3-x}}}{x+7}>0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{3-x}, portanto a expressão está definida apenas quando 3-x\ge 0, isto é, x\le 3.
  • O denominador x+7 não pode ser zero, logo x\neq -7.
  • A função exponencial e^{\sqrt{3-x}} aparece no numerador (multiplicando 3x+2).

Passo 2

Determinar o domínio da expressão (condições necessárias antes de resolver a inequação).
  • Pela raiz quadrada, temos a condição de domínio
x\le 3.
  • Pelo denominador, excluímos
x\neq -7.
Portanto a inequação só faz sentido para x\le 3 com x\neq -7. Vamos resolver a inequação apenas nesse conjunto.

Passo 3

Observação importante sobre a exponencial e simplificação da inequação.
  • A função exponencial e^{\sqrt{3-x}} é sempre positiva para todo x onde está definida (isto é, para todo x\le 3), porque e^{t}>0 para todo t\in\mathbb{R}.
  • Como um fator positivo não altera o sinal de um produto ou quociente, a inequação é equivalente a
\frac{3x+2}{x+7}>0,
com as mesmas restrições de domínio x\le 3 e x\neq -7.
Explicação didática curta: quando se divide ou multiplica por uma quantidade estritamente positiva, o sinal da desigualdade não muda.

Passo 4

Resolver a inequação racional \dfrac{3x+2}{x+7}>0 por análise de sinais.
  • Zeros do numerador: 3x+2=0 \Rightarrow x=-\dfrac{2}{3}. Nesse ponto a fração vale 0.
  • Zeros do denominador (pontos de descontinuidade): x+7=0 \Rightarrow x=-7. Nesse ponto a expressão não está definida.
    Esses dois pontos particionam a reta em intervalos onde o sinal da fração é constante. Como a desigualdade é estrita >\,0, pontos onde o numerador é zero não pertencem à solução; pontos onde o denominador é zero também são excluídos.

Passo 5

Analisar o sinal em cada intervalo (e lembrar que só consideramos x\le 3).
Intervalos relevantes (ordenados): (-\infty,-7), (-7,-\tfrac{2}{3}), (-\tfrac{2}{3},3].
Testar um ponto em cada intervalo:
  • Em x=-8\in(-\infty,-7):
    • 3x+2 = 3(-8)+2 = -24+2=-22 (negativo).
    • x+7 = -8+7=-1 (negativo).
    • Fração: negativo dividido por negativo = positivo. Logo a fração é >0 nesse intervalo.
  • Em x=-1\in(-7,-\tfrac{2}{3}):
    • 3x+2 = 3(-1)+2=-3+2=-1 (negativo).
    • x+7 = -1+7=6 (positivo).
    • Fração: negativo dividido por positivo = negativo. Logo a fração é <0 nesse intervalo.
  • Em x=0\in(-\tfrac{2}{3},3]:
    • 3x+2 = 2 (positivo).
    • x+7 = 7 (positivo).
    • Fração: positivo dividido por positivo = positivo. Logo a fração é >0 nesse intervalo.
      Também verificar o extremo x=3: 3x+2=11>0, x+7=10>0 e x=3 pertence ao domínio, então x=3 satisfaz a inequação e deve ser incluído.

Passo 6

Concluir a solução usando os testes e as exclusões de pontos:
  • Intervalo (-\infty,-7) satisfaz a inequação.
  • x=-7 é excluído (denominador zero).
  • Intervalo (-7,-\tfrac{2}{3}) não satisfaz.
  • x=-\tfrac{2}{3} faz o numerador ser zero, portanto a expressão vale 0 e, como a desigualdade é estrita, x=-\tfrac{2}{3} não entra na solução.
  • Intervalo (-\tfrac{2}{3},3] satisfaz e inclui x=3.
Portanto a solução, lembrando sempre a condição inicial x\le 3, é a união desses intervalos positivos.

Resposta

\displaystyle (-\infty,-7)\cup\left(-\tfrac{2}{3},\,3\right]