Resolva cada inequação:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Há uma raiz quadrada
, portanto a expressão está definida apenas quando , isto é, . - O denominador
não pode ser zero, logo . - A função exponencial
aparece no numerador (multiplicando ).
Passo 2
Determinar o domínio da expressão (condições necessárias antes de resolver a inequação).
- Pela raiz quadrada, temos a condição de domínio
- Pelo denominador, excluímos
Portanto a inequação só faz sentido para
com
. Vamos resolver a inequação apenas nesse conjunto.
Passo 3
Observação importante sobre a exponencial e simplificação da inequação.
- A função exponencial
é sempre positiva para todo onde está definida (isto é, para todo ), porque para todo . - Como um fator positivo não altera o sinal de um produto ou quociente, a inequação é equivalente a
com as mesmas restrições de domínio
e
.
Explicação didática curta: quando se divide ou multiplica por uma quantidade estritamente positiva, o sinal da desigualdade não muda.
Explicação didática curta: quando se divide ou multiplica por uma quantidade estritamente positiva, o sinal da desigualdade não muda.
Passo 4
Resolver a inequação racional
por análise de sinais.
- Zeros do numerador:
. Nesse ponto a fração vale . - Zeros do denominador (pontos de descontinuidade):
. Nesse ponto a expressão não está definida.
Esses dois pontos particionam a reta em intervalos onde o sinal da fração é constante. Como a desigualdade é estrita, pontos onde o numerador é zero não pertencem à solução; pontos onde o denominador é zero também são excluídos.
Passo 5
Analisar o sinal em cada intervalo (e lembrar que só consideramos
).
Intervalos relevantes (ordenados):
,
,
.
Testar um ponto em cada intervalo:
-
Em
: -
(negativo). -
(negativo). - Fração: negativo dividido por negativo = positivo. Logo a fração é
nesse intervalo.
-
-
Em
: -
(negativo). -
(positivo). - Fração: negativo dividido por positivo = negativo. Logo a fração é
nesse intervalo.
-
-
Em
: -
(positivo). -
(positivo). - Fração: positivo dividido por positivo = positivo. Logo a fração é
nesse intervalo.
Também verificar o extremo: , e pertence ao domínio, então satisfaz a inequação e deve ser incluído.
-
Passo 6
Concluir a solução usando os testes e as exclusões de pontos:
- Intervalo
satisfaz a inequação. -
é excluído (denominador zero). - Intervalo
não satisfaz. -
faz o numerador ser zero, portanto a expressão vale e, como a desigualdade é estrita, não entra na solução. - Intervalo
satisfaz e inclui .
Portanto a solução, lembrando sempre a condição inicial
, é a união desses intervalos positivos.