Resolva cada inequação.
g) x\left(x^{2}+1\right)>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x\left(x^{2}+1\right)>0.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A expressão é x\left(x^{2}+1\right).
  • O domínio natural é todo o conjunto dos números reais \mathbb{R}.
  • A pergunta é: para quais valores de x a desigualdade \;x\left(x^{2}+1\right)>0\; é verdadeira?

Passo 2

Entendendo o que significa ">0": a desigualdade pede que o produto dos dois fatores seja positivo. Um produto de dois números é positivo quando ambos os fatores têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Vou usar essa ideia para analisar os sinais dos fatores \;x\; e \;x^{2}+1\;.

Passo 3

Analisando o fator \;x^{2}+1\;:
  • Para qualquer número real \;x\; vale \;x^{2}\ge 0\; (pois o quadrado de um real nunca é negativo).
  • Portanto
x^{2}+1 \ge 0+1 = 1.
  • Conclusão: \;x^{2}+1\ge 1\; para todo \;x\in\mathbb{R}, então na verdade \;x^{2}+1>0\; para todo \;x\in\mathbb{R}. Ou seja, esse fator é sempre positivo e nunca zera.

Passo 4

Com a informação do passo anterior, a desigualdade \;x\left(x^{2}+1\right)>0\; fica mais simples: como \;x^{2}+1>0\; sempre, o sinal do produto é exatamente o sinal de \;x. Em termos práticos:
  • Se \;x>0\;, então \;x^{2}+1>0\; e o produto é positivo.
  • Se \;x=0\;, então o produto é 0\cdot(x^{2}+1)=0, que não satisfaz a desigualdade estrita >0.
  • Se \;x<0\;, então \;x<0\; e \;x^{2}+1>0\;, logo o produto é negativo.

Passo 5

Portanto a única região onde o produto é positivo é quando \;x>0\;. Podemos também verificar com pontos de teste: para \;x=1\; temos 1\cdot(1^{2}+1)=2>0 (ok); para \;x=-1\; temos -1\cdot(1+1)=-2<0 (não vale); para \;x=0\; o produto é 0 (não vale).

Passo 6

Dica rápida para a prova: sempre tente identificar fatores que são sempre positivos (como x^{2}+1) — isso simplifica muito a análise de sinais. Aqui bastou observar que \;x^{2}+1>0\; para reduzir a inequação a \;x>0\;.

Resposta

(0,\infty)

Exercícios relacionados