Resolva cada inequação.
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Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas e o que é pedido:
- A expressão é
. - O domínio natural é todo o conjunto dos números reais
. - A pergunta é: para quais valores de
a desigualdade é verdadeira?
Passo 2
Entendendo o que significa
: a desigualdade pede que o produto dos dois fatores seja positivo. Um produto de dois números é positivo quando ambos os fatores têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Vou usar essa ideia para analisar os sinais dos fatores
e
.
Passo 3
Analisando o fator
:
- Para qualquer número real
vale (pois o quadrado de um real nunca é negativo). - Portanto
- Conclusão:
para todo , então na verdade para todo . Ou seja, esse fator é sempre positivo e nunca zera.
Passo 4
Com a informação do passo anterior, a desigualdade
fica mais simples: como
sempre, o sinal do produto é exatamente o sinal de
. Em termos práticos:
- Se
, então e o produto é positivo. - Se
, então o produto é , que não satisfaz a desigualdade estrita . - Se
, então e , logo o produto é negativo.
Passo 5
Portanto a única região onde o produto é positivo é quando
. Podemos também verificar com pontos de teste: para
temos
(ok); para
temos
(não vale); para
o produto é
(não vale).
Passo 6
Dica rápida para a prova: sempre tente identificar fatores que são sempre positivos (como
) — isso simplifica muito a análise de sinais. Aqui bastou observar que
para reduzir a inequação a
.