Resolva as desigualdades.
b) \left|x^{2}-9\right|+x \leq 3
Passo 1
O enunciado pede que se encontre todos os números reais x que satisfazem a desigualdade
\left|x^{2}-9\right|+x \leq 3.
Informações importantes fornecidas:
A incógnita é x real.
Há um valor absoluto \left|x^{2}-9\right|, que normalmente exige separar casos dependendo do sinal de x^{2}-9.
O objetivo é determinar o conjunto de todos os x reais que tornam a desigualdade verdadeira.
Passo 2
Estratégia (sem calcular ainda): lidar com o valor absoluto fazendo a divisão em casos. Lembrete didático sobre valor absoluto:
Por definição, para qualquer expressão A\),
\[|A| = \begin{cases} A, & \text{se } A\ge 0,\\[4pt] - A, & \text{se } A<0. \end{cases}
No nosso problema A=x^{2}-9\]. Então precisamos considerar:
- Caso 1: \(x^{2}-9\ge 0 (ou seja, |x|\ge 3);
- Caso 2: x^{2}-9<0 (ou seja, -3<x<3).]
Passo 3
Analisando o Caso 1: x^{2}-9\ge 0, isto é, x\le -3 ou x\ge 3.
Nesse caso |x^{2}-9|=x^{2}-9. A desigualdade fica
x^{2}-9 + x \le 3.
Passo a passo de álgebra:
x^{2}+x-9 \le 3
x^{2}+x-12 \le 0.
Agora resolvemos a inequação quadrática x^{2}+x-12\le 0. Mini-aula sobre quadrática:
Para ax^{2}+bx+c com a>0 (abertura para cima), a inequação ax^{2}+bx+c\le 0 é satisfeita entre as raízes reais da equação ax^{2}+bx+c=0.
Calculamos as raízes de x^{2}+x-12=0:
Logo as raízes são x=-4 e x=3. Como o coeficiente do x^{2} é positivo, a parábola é positiva fora do intervalo entre raízes e não-positiva no intervalo entre elas. Assim
Agora intersectamos com a condição do caso 1 (x\le -3 ou x\ge 3):
Interseção com x\le -3 dá [-4,-3].
Interseção com x\ge 3 dá apenas x=3 (pois o intervalo terminou em 3).
Portanto, do Caso 1 obtemos como soluções parciais:
[-4,-3]\cup\{3\}.
Passo 4
Analisando o Caso 2: x^{2}-9<0, isto é, -3<x<3.
Nesse caso |x^{2}-9|=9-x^{2}. A desigualdade fica
9-x^{2}+x \le 3.
Resolvendo passo a passo:
9 - x^{2} + x \le 3
- x^{2} + x + 9 \le 3
- x^{2} + x + 6 \le 0
Multiplicando por -1 (lembre-se de inverter o sentido da desigualdade):
x^{2} - x - 6 \ge 0.
Agora resolvemos a quadrática x^{2}-x-6. Cálculo do discriminante:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25.
Raízes:
x=\frac{1\pm 5}{2},
ou seja x=3 e x=-2. Como o coeficiente do x^{2} é positivo, x^{2}-x-6\ge 0 ocorre para x\le -2 ou x\ge 3. Agora intersectamos com a condição do caso 2 (-3<x<3):
Interseção com x\le -2 e -3<x<3 dá -3<x\le -2, ou seja (-3,-2].
Interseção com x\ge 3 e -3<x<3 é vazia (o ponto 3 não pertence a (-3,3)).
Portanto, do Caso 2 obtemos como soluções parciais:
(-3,-2].
Passo 5
Agora juntamos as soluções parciais dos dois casos:
[-4,-3]\cup\{3\}\quad\text{(do Caso 1)}\qquad\text{e}\qquad(-3,-2]\quad\text{(do Caso 2)}.
Unindo os intervalos ao longo da reta real, isso simplifica para
[-4,-2]\cup\{3\}.
Passo 6
Verificações rápidas (teste de ponto e checagem de extremos):
x=-4: |(-4)^{2}-9|+(-4)=|16-9|-4=7-4=3\le 3 ok.
x=-2: |4-9|+(-2)=5-2=3\le 3 ok.
x=0 (fora da solução): |0-9|+0=9>3 então 0 não deve estar na solução, coerente.
x=3: |9-9|+3=3\le3 ok.
x=-5 (fora): |25-9| -5 =16-5=11>3 ok.
Esses testes confirmam a consistência do resultado.