Resolva as desigualdades.
d) \left|2 x^{2}+3 x\right| \geq 9

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade com valor absoluto
\left|2x^{2}+3x\right| \geq 9.
Dados importantes:
  • A expressão dentro do valor absoluto é 2x^{2}+3x.
  • O lado direito é o número 9 (positivo).
  • Quer-se encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a desigualdade.

Passo 2

Regra útil sobre valor absoluto (explicação didática):
  • Para qualquer expressão A e número real B\ge 0 vale
|A|\ge B \quad\Longleftrightarrow\quad A\ge B \quad\text{ou}\quad A\le -B.
Isto acontece porque o valor absoluto mede a distância de A até 0; exigir que essa distância seja pelo menos B significa que A esteja a direita de B ou a esquerda de -B.
Aplicando aqui com A=2x^{2}+3x e B=9, obtemos as duas desigualdades equivalentes:
2x^{2}+3x \ge 9
ou
2x^{2}+3x \le -9.

Passo 3

Resolver a primeira desigualdade
2x^{2}+3x \ge 9.
Coloco tudo em um lado:
2x^{2}+3x-9 \ge 0.
Isto é uma inequação quadrática. Primeiro encontro as raízes da equação associada
2x^{2}+3x-9=0.
Uso a fórmula quadrática: para ax^{2}+bx+c=0 as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad \Delta=b^{2}-4ac.
Aqui a=2, b=3, c=-9. Calculo o discriminante:
\Delta=3^{2}-4\cdot 2\cdot(-9)=9+72=81.
Logo \sqrt{\Delta}=9 e as raízes são
x=\frac{-3\pm 9}{2\cdot 2}=\frac{-3\pm 9}{4}.
Assim
x_{1}=\frac{-3-9}{4}=-\frac{12}{4}=-3,\qquad x_{2}=\frac{-3+9}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.
Como a=2>0, a parábola abre para cima; portanto 2x^{2}+3x-9\ge 0 ocorre fora do intervalo entre as raízes. Conclusão:
\{x\mid 2x^{2}+3x-9\ge 0\}=(-\infty,-3]\cup\left[\tfrac{3}{2},\infty\right).

Passo 4

Resolver a segunda desigualdade
2x^{2}+3x \le -9.
Coloco tudo em um lado:
2x^{2}+3x+9 \le 0.
Estudo a equação associada
2x^{2}+3x+9=0.
Calculo o discriminante:
\Delta=3^{2}-4\cdot 2\cdot 9=9-72=-63.
Como \Delta<0, a equação não tem raízes reais. Como a=2>0, a parábola é sempre positiva para todo x\in\mathbb{R}; isto é,
2x^{2}+3x+9>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Portanto não existem x que satisfaçam 2x^{2}+3x+9\le 0. Conclusão: a segunda alternativa não contribui com soluções reais.

Passo 5

Combino os resultados das duas alternativas da desigualdade com valor absoluto:
  • Primeira alternativa deu (-\infty,-3]\cup\left[\tfrac{3}{2},\infty\right).
  • Segunda alternativa não trouxe soluções.
Logo a solução final da desigualdade original é
(-\infty,-3]\cup\left[\tfrac{3}{2},\infty\right).
Pequena checagem por pontos: x=0 não pertence à solução porque |2\cdot0+0|=0<9. Já x=-4 pertence pois 2\cdot16-12=20 e |20|=20\ge9. Tudo consistente.

Resposta

(-\infty,-3]\cup\left[\tfrac{3}{2},\infty\right)

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