Resolva as desigualdades.
g) \left|x^{2}-5 x\right| \leq 3 x

Passo 1

O enunciado dá a desigualdade com valor absoluto
\left|x^{2}-5x\right| \leq 3x,
e pede o conjunto de todos os números reais x que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro do valor absoluto é x^{2}-5x.
  • O lado direito é 3x.
  • Quer-se o conjunto solução da desigualdade \left|x^{2}-5x\right| \leq 3x.

Passo 2

Entendimento do conceito que vamos usar (explicação didática).
Para números reais A e B com B\ge 0 vale a equivalência
\left|A\right| \le B \quad\Longleftrightarrow\quad -B \le A \le B.
Isto é porque \left|A\right| mede a distância de A até 0, que só pode ser menor ou igual a B se e somente se A estiver no intervalo [-B,B].
No nosso caso A = x^{2}-5x e B=3x. Portanto, antes de aplicar essa equivalência, é preciso garantir que B seja não-negativo, ou seja verificar quando 3x\ge 0.

Passo 3

Análise do sinal de 3x.
3x\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ge 0.
Se x<0 então 3x<0 e a desigualdade \left|x^{2}-5x\right|\le 3x seria do tipo (número não negativo) \le (número negativo), o que é impossível. Assim:
  • Para x<0: não há solução.
  • Para x=0: testar diretamente na desigualdade.
  • Para x>0: podemos aplicar a equivalência \left|A\right|\le B \iff -B\le A\le B.
Verificação de x=0:
\left|0^{2}-5\cdot 0\right| = 0 \le 3\cdot 0 = 0,
logo x=0 satisfaz a desigualdade.

Passo 4

Agora resolver para x\ge 0 usando a equivalência. Substituindo A e B:
-3x \le x^{2}-5x \le 3x.
Isto equivale a resolver simultaneamente as duas desigualdades
x^{2}-5x \ge -3x \qquad\text{e}\qquad x^{2}-5x \le 3x,
com a condição adicional x\ge 0.

Passo 5

Resolver a primeira desigualdade ( x^{2}-5x \ge -3x).
Começando por isolar tudo à esquerda:
x^{2}-5x +3x \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-2x \ge 0.
Fatorando:
x^{2}-2x = x(x-2).
A desigualdade x(x-2)\ge 0 é uma desigualdade quadrática com raízes 0 e 2. Pelo estudo de sinais (ou regra do produto):
  • x(x-2)\ge 0 ocorre quando x\le 0 ou x\ge 2.
Como estamos impondo x\ge 0, a interseção dá
\text{solução da primeira desigualdade com }x\ge 0:\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x\ge 2.çã
Em forma de intervalo: \{0\}\cup[2,\infty).

Passo 6

Resolver a segunda desigualdade ( x^{2}-5x \le 3x).
Isolando tudo à esquerda:
x^{2}-5x -3x \le 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-8x \le 0.
Fatorando:
x^{2}-8x = x(x-8).
A desigualdade x(x-8)\le 0 tem raízes 0 e 8, e é satisfeita para x entre as raízes:
0 \le x \le 8.
Portanto, para x\ge 0 a segunda desigualdade dá o intervalo [0,8].

Passo 7

Interseção das condições (ambas devem valer simultaneamente e x\ge 0).
Juntando os resultados das duas desigualdades sob a condição x\ge 0:
  • primeira deu \{0\}\cup[2,\infty);
  • segunda deu [0,8].
A interseção é
\big(\{0\}\cup[2,\infty)\big)\cap[0,8] = \{0\}\cup[2,8].

Passo 8

Verificações rápidas por pontos (checagem para garantir que não houve erro):
  • x=0: \left|0\right|=0\le 0 — OK.
  • x=1: \left|1-5\right|=4\le 3 — falso (logo 1 não está na solução).
  • x=2: \left|4-10\right|=6\le 6 — OK.
  • x=8: \left|64-40\right|=24\le 24 — OK.
    Esses testes confirmam que a solução encontrada faz sentido.

Resposta

x\in\{0\}\cup[2,8]

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