Resolva as desigualdades.
g) \left|x^{2}-5 x\right| \leq 3 x
Passo 1
O enunciado dá a desigualdade com valor absoluto
\left|x^{2}-5x\right| \leq 3x,
e pede o conjunto de todos os números reais x que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes fornecidas:
A expressão dentro do valor absoluto é x^{2}-5x.
O lado direito é 3x.
Quer-se o conjunto solução da desigualdade \left|x^{2}-5x\right| \leq 3x.
Passo 2
Entendimento do conceito que vamos usar (explicação didática).
Para números reais A e B com B\ge 0 vale a equivalência
\left|A\right| \le B \quad\Longleftrightarrow\quad -B \le A \le B.
Isto é porque \left|A\right| mede a distância de A até 0, que só pode ser menor ou igual a B se e somente se A estiver no intervalo [-B,B].
No nosso caso A = x^{2}-5x e B=3x. Portanto, antes de aplicar essa equivalência, é preciso garantir que B seja não-negativo, ou seja verificar quando 3x\ge 0.
Passo 3
Análise do sinal de 3x.
3x\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ge 0.
Se x<0 então 3x<0 e a desigualdade \left|x^{2}-5x\right|\le 3x seria do tipo (número não negativo) \le (número negativo), o que é impossível. Assim:
Para x<0: não há solução.
Para x=0: testar diretamente na desigualdade.
Para x>0: podemos aplicar a equivalência \left|A\right|\le B \iff -B\le A\le B.
Verificação de x=0:
\left|0^{2}-5\cdot 0\right| = 0 \le 3\cdot 0 = 0,
logo x=0 satisfaz a desigualdade.
Passo 4
Agora resolver para x\ge 0 usando a equivalência. Substituindo A e B:
-3x \le x^{2}-5x \le 3x.
Isto equivale a resolver simultaneamente as duas desigualdades