Resolva as desigualdades.
h) \left|x^{2}-6\right| \geq x^{2}

Passo 1

O enunciado pede resolver a desigualdade
\left|x^{2}-6\right| \geq x^{2}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A variável é x e a solução deve ser o conjunto de todos os números reais x que satisfazem a desigualdade.
  • O termo x^{2} é sempre não negativo para todo x\in\mathbb{R}.
  • A desigualdade envolve valor absoluto \left|\cdot\right|, que exige tratamento por casos.

Passo 2

Vamos lembrar a definição de valor absoluto de forma prática. Para qualquer expressão A\), \[|A|=\begin{cases} A, & \text{se } A\ge 0,\\[4pt] -\,A, & \text{se } A<0. \end{cases}
Aqui A=x^{2}-6\]. Para facilitar, faremos a substituição \[y=x^{2},\] assim \(y\ge 0 e a desigualdade passa a ser
|y-6|\ge y.]

Passo 3

Agora resolvemos a desigualdade em y. Como há valor absoluto, dividimos em dois casos conforme o sinal de y-6.
Caso 1: y-6\ge 0, isto é, y\ge 6.
Nesse caso |y-6|=y-6 e a desigualdade fica
y-6\ge y.
Subtraindo y dos dois lados obtemos
-6\ge 0,
que é uma contradição. Portanto não há soluções com y\ge 6.

Passo 4

Caso 2: y-6<0, isto é, y<6.
Nesse caso |y-6|=6-y e a desigualdade fica
6-y\ge y.
Somando y aos dois lados:
6\ge 2y.
Dividindo por 2 (positivo):
3\ge y,
ou seja
y\le 3.
Lembrando que neste caso também exigimos y\ge 0 (pois y=x^{2}) e y<6, a combinação dá
0\le y\le 3.

Passo 5

Voltando para x, temos y=x^{2} e a condição 0\le y\le 3 vira
0\le x^{2}\le 3.
A desigualdade x^{2}\le 3 significa que x está entre as raízes quadradas positivas e negativas de 3. Portanto
-\sqrt{3}\le x\le \sqrt{3}.
Checagem rápida em extremos: para x^{2}=3 a desigualdade original é |3-6|=3\ge 3, verdade; para x=0 é |-6|=6\ge 0, verdade. Tudo coerente.

Passo 6

Conclusão: o conjunto de soluções é o intervalo fechado de -\sqrt{3} até \sqrt{3}. Boa — terminou! Manda outro que a gente resolve junto.

Resposta

x\in[-\sqrt{3},\sqrt{3}]

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