Resolva as desigualdades.
p) 1 \leq\left|\frac{3 x-5}{4}\right| \leq 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
1 \leq \left|\frac{3x-5}{4}\right| \leq 2.
Informações dadas:
  • A expressão envolvendo valor absoluto é \left|\dfrac{3x-5}{4}\right|.
  • A desigualdade é composta: a expressão deve ser ao mesmo tempo maior ou igual a 1 e menor ou igual a 2.
O que é solicitado:
  • Determinar todos os valores de x que satisfazem essa desigualdade composta.

Passo 2

Relembrando propriedades úteis do valor absoluto (explicação didática):
  • Para qualquer expressão A e número b\ge 0, |A| \le b \quad\text{é equivalente a}\quad -b \le A \le b.éIntuição: |A| mede a distância de A até 0; exigir que essa distância seja ao máximo b significa que A está entre -b e b.
  • Para qualquer expressão A e número a\ge 0, |A| \ge a \quad\text{é equivalente a}\quad A \le -a \quad\text{ou}\quad A \ge a.éIntuição: exigir distância ao menos a significa que A está fora do intervalo (-a,a).
Também é seguro multiplicar a desigualdade por uma constante positiva sem trocar os sinais. Aqui a constante é 4>0.

Passo 3

Multiplico toda a desigualdade por 4 (positivo), para eliminar o denominador:
4 \le \left|3x-5\right| \le 8.

Passo 4

Agora separamos a desigualdade dupla em duas condições que devem valer simultaneamente:
\left|3x-5\right| \ge 4 \qquad\text{e}\qquad \left|3x-5\right| \le 8.
Vou resolver cada uma por vez.

Passo 5

Resolver \left|3x-5\right| \le 8.
Pela propriedade, isso é equivalente a
-8 \le 3x-5 \le 8.
Somando 5 em todas as partes:
-8+5 \le 3x \le 8+5,
ou seja
-3 \le 3x \le 13.
Dividindo por 3 (positivo):
-1 \le x \le \frac{13}{3}.

Passo 6

Resolver \left|3x-5\right| \ge 4.
Pela propriedade, isso é equivalente a
3x-5 \le -4 \quad\text{ou}\quad 3x-5 \ge 4.
Para a primeira:
3x \le 1 \quad\Rightarrow\quad x \le \frac{1}{3}.
Para a segunda:
3x \ge 9 \quad\Rightarrow\quad x \ge 3.
Portanto a solução desta desigualdade é
x \le \frac{1}{3} \quad\text{ou}\quad x \ge 3.

Passo 7

Agora faço a interseção das soluções das duas condições (porque ambas devem ser verdadeiras ao mesmo tempo):
  • Da condição \left|3x-5\right| \le 8 obtivemos -1 \le x \le \dfrac{13}{3}.
  • Da condição \left|3x-5\right| \ge 4 obtivemos x \le \dfrac{1}{3} ou x \ge 3.
Interseção:
  • Com a parte x \le \dfrac{1}{3} intersectando -1 \le x \le \dfrac{13}{3} obtemos -1 \le x \le \dfrac{1}{3}.
  • Com a parte x \ge 3 intersectando -1 \le x \le \dfrac{13}{3} obtemos 3 \le x \le \dfrac{13}{3}.
Portanto a solução final é a união desses dois intervalos:
[-1,\tfrac{1}{3}]\\ \cup\\ [3,\tfrac{13}{3}].

Passo 8

Checagem rápida nos extremos (para aumentar confiança):
  • Em x=-1: \left|\dfrac{3(-1)-5}{4}\right|=\left|\dfrac{-8}{4}\right|=2 satisfaz.
  • Em x=\tfrac{1}{3}: \left|\dfrac{3(\tfrac{1}{3})-5}{4}\right|=\left|\dfrac{-4}{4}\right|=1 satisfaz.
  • Em x=3: \left|\dfrac{9-5}{4}\right|=1 satisfaz.
  • Em x=\tfrac{13}{3}: \left|\dfrac{13-5}{4}\right|=\left|\dfrac{8}{4}\right|=2 satisfaz.

Resposta

\displaystyle [-1,\tfrac{1}{3}]\cup[3,\tfrac{13}{3}]

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