Resolva as desigualdades.
p) 1 \leq\left|\frac{3 x-5}{4}\right| \leq 2
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
1 \leq \left|\frac{3x-5}{4}\right| \leq 2.
Informações dadas:
A expressão envolvendo valor absoluto é \left|\dfrac{3x-5}{4}\right|.
A desigualdade é composta: a expressão deve ser ao mesmo tempo maior ou igual a 1 e menor ou igual a 2.
O que é solicitado:
Determinar todos os valores de x que satisfazem essa desigualdade composta.
Passo 2
Relembrando propriedades úteis do valor absoluto (explicação didática):
Para qualquer expressão A e número b\ge 0,|A| \le b \quad\text{é equivalente a}\quad -b \le A \le b.éIntuição: |A| mede a distância de A até 0; exigir que essa distância seja ao máximo b significa que A está entre -b e b.
Para qualquer expressão A e número a\ge 0,|A| \ge a \quad\text{é equivalente a}\quad A \le -a \quad\text{ou}\quad A \ge a.éIntuição: exigir distância ao menos a significa que A está fora do intervalo (-a,a).
Também é seguro multiplicar a desigualdade por uma constante positiva sem trocar os sinais. Aqui a constante é 4>0.
Passo 3
Multiplico toda a desigualdade por 4 (positivo), para eliminar o denominador:
4 \le \left|3x-5\right| \le 8.
Passo 4
Agora separamos a desigualdade dupla em duas condições que devem valer simultaneamente: