Resolva as desigualdades.
r) |2 x+5| \geq x+7

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
|2x+5| \geq x+7.
Informações dadas:
  • A incógnita é x.
  • O lado esquerdo é um valor absoluto: |2x+5|.
  • O lado direito é a expressão linear x+7.
O que devemos encontrar: o conjunto de todos os valores de x que tornam verdadeira a desigualdade acima.

Passo 2

Estratégia e ideia principal (passo-a-passo didático):
  • Lembre-se que |A| é sempre \geq 0 para qualquer A.
  • Para uma desigualdade geral do tipo |u| \geq v, há duas situações:
    1. Se v \leq 0, então |u| \geq v é verdadeira para todo u, porque o menor valor possível de |u| é 0 e 0 \geq v.
    2. Se v>0, então |u| \geq v equivale a u \geq v ou u \leq -v. Isso vem da definição de valor absoluto: |u|=u quando u\ge0 e |u|=-u quando u<0.
Vamos aplicar essa ideia com u=2x+5 e v=x+7. Ou seja, primeiro distinguimos os casos segundo o sinal de x+7.

Passo 3

Caso 1: x+7 \leq 0.
  • A condição x+7 \leq 0 é equivalente a
x \leq -7.
  • Como x+7 \leq 0, pelo raciocínio do passo anterior, a desigualdade |2x+5| \geq x+7 é verdadeira para todo x que satisfaça x \leq -7.
  • Portanto, todo x em (-\infty,-7] satisfaz a desigualdade.

Passo 4

Caso 2: x+7 > 0.
  • A condição x+7>0 é equivalente a
x > -7.
  • Quando x>-7 (ou seja, x+7>0), usamos a equivalência |u|\ge v \iff (u\ge v)\\ \text{ou}\\ (u\le -v) com u=2x+5 e v=x+7.
  • Assim, para x>-7 a desigualdade vira o sistema das duas opções:
    • Opção A: 2x+5 \geq x+7.
    • Opção B: 2x+5 \leq -(x+7).

Passo 5

Resolver a Opção A: 2x+5 \geq x+7.
  • Subtraindo x de ambos os lados e subtraindo 5:
2x+5 \geq x+7 \Longrightarrow 2x - x \geq 7 - 5 \Longrightarrow x \geq 2.
  • Lembrar que essa solução vale apenas sob a condição x>-7. Como x\ge2 implica x>-7, não é necessário intersectar explicitamente aqui; portanto a solução desta opção é
x \geq 2.

Passo 6

Resolver a Opção B: 2x+5 \leq -(x+7).
  • Expandindo o lado direito:
2x+5 \leq -x -7.
  • Agora somamos x em ambos os lados e subtraímos 5:
2x + x \leq -7 -5 \Longrightarrow 3x \leq -12 \Longrightarrow x \leq -4.
  • Lembrar novamente que esta solução é válida apenas quando x>-7. A condição x \leq -4 combinada com x>-7 resulta em
-7 < x \leq -4,
ou seja, o intervalo (-7,-4].

Passo 7

Juntar todas as partes:
  • Do Caso 1 obtivemos x \in (-\infty,-7].
  • Do Caso 2, das opções A e B, obtivemos x \in [2,\infty) e x \in (-7,-4].
  • Unindo todos (união dos intervalos), temos
(-\infty,-7] \cup (-7,-4] \cup [2,\infty).
  • Os dois primeiros intervalos se juntam em (-\infty,-4], pois (-\infty,-7] \cup (-7,-4] = (-\infty,-4].
  • Portanto a solução final simplificada é
(-\infty,-4] \cup [2,\infty).

Passo 8

Verificação rápida em pontos críticos (confirmação do raciocínio):
  • x=-8 (está em (-\infty,-4]): |2(-8)+5|=|-16+5|=11, x+7=-1; 11 \ge -1 verdadeiro.
  • x=-4 (ponto limite): |2(-4)+5|=|-8+5|=3, x+7=3; 3\ge3 verdadeiro.
  • x=0 (entre -4 e 2, não deveria satisfazer): |0+5|=5, 0+7=7; 5\ge7 falso — correto, 0 não está na solução.
  • x=2 (ponto limite): |4+5|=9, 2+7=9; 9\ge9 verdadeiro.
Essas verificações batem com o conjunto obtido.

Resposta

(-\infty,-4] \cup [2,\infty)

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