Resolva as desigualdades.
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Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
Informações dadas:
- A incógnita é
. - O lado esquerdo é um valor absoluto:
. - O lado direito é a expressão linear
.
O que devemos encontrar: o conjunto de todos os valores de
que tornam verdadeira a desigualdade acima.
Passo 2
Estratégia e ideia principal (passo-a-passo didático):
- Lembre-se que
é sempre para qualquer . - Para uma desigualdade geral do tipo
, há duas situações: - Se
, então é verdadeira para todo , porque o menor valor possível de é e . - Se
, então equivale a ou . Isso vem da definição de valor absoluto: quando e quando .
- Se
Vamos aplicar essa ideia com
e
. Ou seja, primeiro distinguimos os casos segundo o sinal de
.
Passo 3
Caso 1:
.
- A condição
é equivalente a
- Como
, pelo raciocínio do passo anterior, a desigualdade é verdadeira para todo que satisfaça . - Portanto, todo
em satisfaz a desigualdade.
Passo 4
Caso 2:
.
- A condição
é equivalente a
- Quando
(ou seja, ), usamos a equivalência com e . - Assim, para
a desigualdade vira o sistema das duas opções: - Opção A:
. - Opção B:
.
- Opção A:
Passo 5
Resolver a Opção A:
.
- Subtraindo
de ambos os lados e subtraindo :
- Lembrar que essa solução vale apenas sob a condição
. Como implica , não é necessário intersectar explicitamente aqui; portanto a solução desta opção é
Passo 6
Resolver a Opção B:
.
- Expandindo o lado direito:
- Agora somamos
em ambos os lados e subtraímos :
- Lembrar novamente que esta solução é válida apenas quando
. A condição combinada com resulta em
ou seja, o intervalo
.
Passo 7
Juntar todas as partes:
- Do Caso 1 obtivemos
. - Do Caso 2, das opções A e B, obtivemos
e . - Unindo todos (união dos intervalos), temos
- Os dois primeiros intervalos se juntam em
, pois . - Portanto a solução final simplificada é
Passo 8
Verificação rápida em pontos críticos (confirmação do raciocínio):
-
(está em ): , ; verdadeiro. -
(ponto limite): , ; verdadeiro. -
(entre e , não deveria satisfazer): , ; falso — correto, 0 não está na solução. -
(ponto limite): , ; verdadeiro.
Essas verificações batem com o conjunto obtido.