Resolva as EDOs e PVI’s lineares de primeira ordem:
y^{\prime}(x)-2 y(x)=x^{2}+e^{2 x}

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear de primeira ordem
y'(x)-2\,y(x)=x^{2}+e^{2x},
e pede a sua solução geral.
O conteúdo é o método do fator integrante; vamos precisar calcular um fator integrante \mu(x), multiplicar a EDO por ele, reescrever o lado esquerdo como derivada de um produto, integrar e, por fim, obter y(x).

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\Bigl(\int -2\,dx\Bigr)=\exp(-2x)=e^{-2x}.

Passo 3

Multiplicando a EDO por \mu(x), obtemos
e^{-2x}y'(x)-2\,e^{-2x}y(x) =\;x^{2}e^{-2x}+e^{2x}e^{-2x} =x^{2}e^{-2x}+1.
O lado esquerdo é precisamente a derivada do produto y(x)e^{-2x}, ou seja,
\frac{d}{dx}\bigl[y(x)e^{-2x}\bigr] =x^{2}e^{-2x}+1.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl[y\,e^{-2x}\bigr]\,dx =\int\bigl(x^{2}e^{-2x}+1\bigr)\,dx.
No lado direito, separamos
\int x^{2}e^{-2x}dx+\int 1\,dx.
Para \displaystyle\int x^{2}e^{-2x}dx usamos integração por partes duas vezes e achamos
\int x^{2}e^{-2x}dx =-e^{-2x}\Bigl(\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x}{2}+\tfrac14\Bigr)+C_{1}.
E
\int 1\,dx = x + C_{2}.
Logo
y(x)e^{-2x} =-e^{-2x}\Bigl(\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x}{2}+\tfrac14\Bigr) +x + C,
onde C=C_{1}+C_{2} é a constante geral.

Passo 5

Isolando y(x), multiplicamos por e^{2x}:
y(x) =-\Bigl(\tfrac{x^{2}}{2}+\tfrac{x}{2}+\tfrac14\Bigr) + x\,e^{2x} + C\,e^{2x}.
Assim, a solução geral da EDO linear é
y(x)=C\,e^{2x}+x\,e^{2x}-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}-\frac14,
onde C\in\mathbb{R} é a constante de integração.

Resposta

y(x)=C\,e^{2x}+x\,e^{2x}-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}-\frac14.

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