Resolva a equação diferencial a seguir sujeita às condições iniciais indicadas, usando transformada de Laplace. (2pts)
y'' + y = sen(2t), y(0) = 2, y'(0) = 1

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Vamos usar a transformada de Laplace, que é uma técnica poderosa para resolver equações diferenciais lineares. Para isso, precisamos lembrar das propriedades da transformada de Laplace e das transformadas de funções derivadas.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Usando as propriedades da transformada para derivadas, temos:
onde .

Passo 3

Substituímos as condições iniciais e na equação:
Fatoramos :

Passo 4

Isolamos :
Agora, vamos fazer a decomposição de frações parciais para simplificar a expressão e facilitar a aplicação da transformada inversa.

Passo 5

Após a decomposição de frações parciais e simplificação, obtemos:
Simplificando ainda mais:

Passo 6

Aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:

Resposta

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