Resolva a equação diferencial sujeita às condiçōes dadas.
\frac{d y}{d x}=5 x^{-1 / 3};
y=70 \operatorname{se} x=27

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = 5\,x^{-1/3}
usando integração indefinida e depois aplicar a condição inicial y(27)=70.

Passo 2

Integramos ambos os lados em relação a x. Sabemos que \int x^{n}\,dx = x^{n+1}/(n+1) para n\neq -1. Portanto,
y = \int 5\,x^{-1/3}\,dx = 5 \cdot \frac{x^{-1/3+1}}{-1/3+1} + C = 5 \cdot \frac{x^{2/3}}{2/3} + C = \frac{15}{2}\,x^{2/3} + C.

Passo 3

Usamos a condição y(27)=70. Como 27^{1/3}=3, temos 27^{2/3}=9. Logo,
70 = \frac{15}{2}\cdot 9 + C = \frac{135}{2} + C
e daí
C = 70 - \frac{135}{2} = \frac{140 - 135}{2} = \frac{5}{2}.

Resposta

y(x) = \frac{15}{2}\,x^{2/3} + \frac{5}{2}.

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