Resolva a Equação de Laplace,
, em coordenadas cilíndricas para
.
Passo 1
O enunciado dá a equação de Laplace
e diz que a solução depende apenas da coordenada radial em coordenadas cilíndricas, ou seja
.
O que se pede: encontrar a forma geral de (a solução da equação de Laplace sob a hipótese
).
Informações relevantes que temos do enunciado:
O que se pede: encontrar a forma geral de
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função desconhecida é
, depende somente de (não depende de nem de ). - Não foram dadas condições de contorno; portanto vamos obter a solução geral com constantes de integração.
Passo 2
Escrevendo a expressão do laplaciano em coordenadas cilíndricas
para uma função qualquer
temos
Aqui:
é a coordenada radial,
o ângulo azimutal e
a coordenada axial. As derivadas parciais aparecem porque, em coordenadas curvilíneas, o laplaciano tem esses fatores geométricos.
Passo 3
Como a hipótese é
, as derivadas em relação a
e a
são nulas:
Logo a equação de Laplace reduz-se a uma equação ordinária em
:
Observação: escrevi derivadas totais
porque agora
depende só de
.
Passo 4
Multiplicando por
obtemos
Integramos em relação a
. A integral da derivada é uma constante de integração, que chamo
:
Isto significa que
Passo 5
Integramos novamente em
. A integral de
é o logaritmo natural, portanto surge uma segunda constante de integração
:
onde
e
são constantes reais determinadas por condições de contorno (se houver). Note que a função está definida para
por causa do
.
Passo 6
Observações importantes para a prova e uso prático:
- Se for exigido que
seja finita em , então é necessário (porque quando ), e a solução regular no eixo é simplesmente (constante). - Se houver contorno do tipo
numa superfície cilíndrica , basta substituir na solução para relacionar e . Por exemplo, com uma única condição não se determina as duas constantes; com duas condições (por exemplo e ) resolve-se para resolvendo o sistema linear obtido.
Resposta
Se