Resolva a Equação de Laplace, \nabla^{2} \varphi=0, em coordenadas cilíndricas para \varphi=\varphi(\rho).

Passo 1

O enunciado dá a equação de Laplace
\nabla^{2}\varphi=0
e diz que a solução depende apenas da coordenada radial em coordenadas cilíndricas, ou seja \varphi=\varphi(\rho).
O que se pede: encontrar a forma geral de \varphi(\rho) (a solução da equação de Laplace sob a hipótese \varphi=\varphi(\rho)).
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função desconhecida é \varphi(\rho), depende somente de \rho (não depende de \varphi nem de z).
  • Não foram dadas condições de contorno; portanto vamos obter a solução geral com constantes de integração.

Passo 2

Escrevendo a expressão do laplaciano em coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z) para uma função qualquer \varphi(\rho,\varphi,z) temos
\nabla^{2}\varphi=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\!\left(\rho\frac{\partial\varphi}{\partial\rho}\right) +\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\varphi^{2}} +\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial z^{2}}.
Aqui: \rho é a coordenada radial, \varphi o ângulo azimutal e z a coordenada axial. As derivadas parciais aparecem porque, em coordenadas curvilíneas, o laplaciano tem esses fatores geométricos.

Passo 3

Como a hipótese é \varphi=\varphi(\rho), as derivadas em relação a \varphi e a z são nulas:
\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial\varphi^{2}}=0,\qquad \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial z^{2}}=0.
Logo a equação de Laplace reduz-se a uma equação ordinária em \rho:
\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\!\left(\rho\frac{d\varphi}{d\rho}\right)=0.
Observação: escrevi derivadas totais d/d\rho porque agora \varphi depende só de \rho.

Passo 4

Multiplicando por \rho obtemos
\frac{d}{d\rho}\!\left(\rho\frac{d\varphi}{d\rho}\right)=0.
Integramos em relação a \rho. A integral da derivada é uma constante de integração, que chamo C_{1}:
\rho\frac{d\varphi}{d\rho}=C_{1}.
Isto significa que
\frac{d\varphi}{d\rho}=\frac{C_{1}}{\rho}.

Passo 5

Integramos novamente em \rho. A integral de 1/\rho é o logaritmo natural, portanto surge uma segunda constante de integração C_{2}:
\varphi(\rho)=C_{1}\ln\rho + C_{2},
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais determinadas por condições de contorno (se houver). Note que a função está definida para \rho>0 por causa do \ln\rho.

Passo 6

Observações importantes para a prova e uso prático:
  • Se for exigido que \varphi seja finita em \rho=0, então é necessário C_{1}=0 (porque \ln\rho\to -\infty quando \rho\to 0^{+}), e a solução regular no eixo é simplesmente \varphi(\rho)=C_{2} (constante).
  • Se houver contorno do tipo \varphi(a)=V numa superfície cilíndrica \rho=a, basta substituir \rho=a na solução para relacionar C_{1} e C_{2}. Por exemplo, com uma única condição \varphi(a)=V não se determina as duas constantes; com duas condições (por exemplo \varphi(a)=V e \varphi(b)=W) resolve-se para C_{1},C_{2} resolvendo o sistema linear obtido.

Resposta

\varphi(\rho)=C_{1}\ln\rho + C_{2}, com C_{1},C_{2} constantes.
Se \varphi deve ser finita em \rho=0, então \varphi(\rho)=C_{2} (constante).