Resolva as equações de Cauchy-Euler a seguir:
x^3 y''' - 2 x^2 y'' - x y' + 9 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou uma equação diferencial do tipo Cauchy-Euler:
Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente às Equações Cauchy-Euler. Para resolver, precisamos encontrar soluções que se ajustem à forma especial dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por x^3 (desde que x != 0):
Isso ajuda a identificar melhor os coeficientes que variam com x.

Passo 3

Em equações de Cauchy-Euler, assumimos uma solução do tipo . Vamos substituir isso na equação para encontrar o valor de m.
Primeiro, calculamos as derivadas:

Passo 4

Substituindo y, , e na equação simplificada:
Simplificando cada termo:

Passo 5

Agora, todos os termos têm como fator comum. Podemos fatorar isso:
Como , a expressão dentro dos colchetes deve ser igual a zero:

Passo 6

Vamos expandir e simplificar a equação para encontrar os valores de m:
Primeiro, expanda :
Agora substituímos de volta:
Expanda :
Substituindo novamente:

Passo 7

Temos uma equação cúbica:
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando possíveis valores inteiros, percebemos que satisfaz a equação:
Então, é um fator da equação. Agora, vamos fazer a divisão polinomial para encontrar os outros fatores.

Passo 8

Dividindo por :
Portanto, as raízes são (multiplicidade 2) e .

Passo 9

Com os valores de m encontrados, as soluções da equação são:
  • Para :
  • Para (segunda solução, devido à multiplicidade):
  • Para :

Resposta

A solução geral da equação de Cauchy-Euler é:
Onde C1, C2 e C3 são constantes arbitrárias.

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