Resolva as equações: d y'' + 3 y' - 5 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a equação característica, resolver para as raízes e, com elas, montar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma , a equação característica é . No nosso caso, , e . Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos calcular o discriminante :
Então, as raízes são:
Isso nos dá duas raízes reais e distintas.

Passo 5

Com as raízes e , a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo os valores de e :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

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