Resolva as equações diferenciais abaixo utilizando a Transformada de Laplace e a respectiva inversa. Sugestão: Neste exercício atente-se para a relação entre a localização dos polos da Transformada de Laplace e o comportamento do sistema.
\dot{v}_{c}(t)=\frac{1}{R C}\left(V(t)-v_{c}(t)\right), supondo condições iniciais nulas e para V(t)=A, t \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver
\dot{v}_{c}(t)=\frac{1}{RC}\bigl(V(t)-v_{c}(t)\bigr)
com condição inicial v_{c}(0)=0 e entrada degrau V(t)=A para t\ge0.
O conteúdo é Transformada de Laplace aplicada a EDO de primeira ordem, usando a propriedade de derivada e frações parciais para inverter.

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo. Como v_{c}(0)=0,
\mathcal{L}\{\dot v_{c}(t)\}=s\,V_{c}(s),\quad \mathcal{L}\{v_{c}(t)\}=V_{c}(s),\quad \mathcal{L}\{V(t)\}=\mathcal{L}\{A\}=\frac{A}{s}.
Logo da EDO surge
s\,V_{c}(s)=\frac{1}{RC}\Bigl(\frac{A}{s}-V_{c}(s)\Bigr).

Passo 3

Isolando V_{c}(s):
s\,V_{c}(s)+\frac{1}{RC}V_{c}(s) =\frac{A}{RC}\,\frac{1}{s} \quad\Longrightarrow\quad V_{c}(s)\Bigl(s+\tfrac{1}{RC}\Bigr) =\frac{A}{RC}\,\frac{1}{s}
\Longrightarrow\quad V_{c}(s) =\frac{A}{RC}\,\frac{1}{s\bigl(s+\tfrac{1}{RC}\bigr)}.

Passo 4

Fazemos frações parciais em
\frac{A}{RC}\,\frac{1}{s\bigl(s+\tfrac{1}{RC}\bigr)} = A\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\tfrac{1}{RC}}\Bigr),
pois
A\Bigl(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{1}{RC}}\Bigr) =\frac{A}{RC}\,\frac{1}{s(s+\frac{1}{RC})}.

Passo 5

Aplicando a inversa de Laplace em cada termo, lembrando que
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1 e
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+\tfrac{1}{RC}}\}=e^{-t/(RC)},
obtemos
v_{c}(t) = A\Bigl(1 - e^{-t/(RC)}\Bigr).

Passo 6

Os polos de V_{c}(s) são s=0 e s=-\tfrac{1}{RC}. Como o polo em -\tfrac{1}{RC} está no semiplano esquerdo, o sistema é estável e, para a entrada degrau, atinge regime permanente igual a A.

Resposta

v_{c}(t)=A\bigl(1 - e^{-t/(RC)}\bigr),\quad t\ge0.

Exercícios relacionados