Resolva as equações diferenciais abaixo utilizando a Transformada de Laplace e a respectiva inversa. Sugestão: Neste exercício atente-se para a relação entre a localização dos polos da Transformada de Laplace e o comportamento do sistema.
, supondo condições iniciais nulas e para
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver
com condição inicial
e entrada degrau
para
.
O conteúdo é Transformada de Laplace aplicada a EDO de primeira ordem, usando a propriedade de derivada e frações parciais para inverter.
O conteúdo é Transformada de Laplace aplicada a EDO de primeira ordem, usando a propriedade de derivada e frações parciais para inverter.
Passo 2
Aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo. Como
,
Logo da EDO surge
Passo 3
Isolando
:
Passo 4
Fazemos frações parciais em
pois
Passo 5
Aplicando a inversa de Laplace em cada termo, lembrando que
e
,
obtemos
obtemos
Passo 6
Os polos de
são
e
. Como o polo em
está no semiplano esquerdo, o sistema é estável e, para a entrada degrau, atinge regime permanente igual a
.