Resolva as equações diferenciais abaixo utilizando a Transformada de Laplace e a respectiva inversa. Sugestão: Neste exercício atente-se para a relação entre a localização dos polos da Transformada de Laplace e o comportamento do sistema.
2 \ddot{x}(t)+7 \dot{x}(t)+3 x(t)=0, com x(0)=3 e \dot{x}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, a equação
2\ddot{x}(t)+7\dot{x}(t)+3x(t)=0
com as condições iniciais x(0)=3 e \dot{x}(0)=0. Vamos usar as propriedades
\mathcal{L}\{\dot x\}=sX(s)-x(0) e
\mathcal{L}\{\ddot x\}=s^2X(s)-s\,x(0)-\dot x(0), resolver para X(s) e então aplicar a transformada inversa.

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} em cada termo da equação, obtemos
2\bigl(s^2X(s)-s\,x(0)-\dot x(0)\bigr) +7\bigl(sX(s)-x(0)\bigr) +3X(s) =0.

Passo 3

Substituindo x(0)=3 e \dot x(0)=0 e agrupando em X(s), vem
2\bigl(s^2X(s)-3s\bigr) +7\bigl(sX(s)-3\bigr) +3X(s) =0 \;\Longrightarrow\; X(s) =\frac{6s+21}{2s^2+7s+3}.

Passo 4

Fatoramos o denominador para identificar polos:
2s^2+7s+3 =2\,(s+\tfrac12)(s+3),
logo os polos são s=-\tfrac12 e s=-3.

Passo 5

Fazendo frações parciais, escrevemos
\frac{6s+21}{2(s+\tfrac12)(s+3)} =\frac{A}{s+\tfrac12}+\frac{B}{s+3},
e encontramos
A=\frac{18}{5}, \quad B=-\frac{3}{5}.

Passo 6

Aplicando a transformada inversa e usando
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac1{s+a}\}=e^{-at}, resulta
x(t) =\frac{18}{5}e^{-t/2} -\frac{3}{5}e^{-3t}.

Resposta

x(t)=\frac{18}{5}e^{-t/2}-\frac{3}{5}e^{-3t}.

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