Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é a função dependente de
.
- A equação relaciona (derivada em relação a
) com
.
- Não foi dada condição inicial — queremos, então, a solução geral (família de soluções com constante de integração).
- A incógnita é a função
- A equação relaciona
- Não foi dada condição inicial — queremos, então, a solução geral (família de soluções com constante de integração).
Passo 2
Primeiro passo algébrico: isolar
. Divido os dois lados por
(que nunca é zero), obtendo
Isto é uma equação em que a derivada de
aparece igual a uma função de
multiplicada por
. Antes de avançar, observe que a solução trivial
satisfaz a equação (se
, então
e
). Vamos tratar essa solução separadamente depois; agora assumimos
localmente para poder dividir por
.
Passo 3
Método de separação de variáveis (explicando o porquê): se a equação pode ser escrita com todos os termos em
num lado e todos os termos em
no outro, podemos integrar cada lado em sua variável. Aqui podemos rearranjar como
Reescrevendo
, isto vira
Agora sim temos os
do lado esquerdo e os
do lado direito — prontos para integrar.
Passo 4
Integro ambos os lados. Lembretes das integrais que usamos:
- . Aqui o valor absoluto aparece porque a função logarítmica natural exige argumento positivo; isso permite cobrir soluções positivas e negativas.
- . Esta é uma integral padrão: a derivada de
é
.
-
-
Aplicando as integrais:
onde
é a constante de integração (uma única constante já engloba diferenças entre as duas integrais).
Passo 5
Agora resolvo para
exponenciando ambos os lados. Da igualdade
segue
Chamo
, onde
. Assim
. Tirando o valor absoluto, obtemos duas possibilidades
. Podemos juntar o sinal e a constante positiva num único parâmetro
que varia por todos os reais (incluindo
). Portanto a solução geral não-trivial pode ser escrita como
onde
. Note que
recupera a solução trivial
, então não precisamos tratá-la separadamente no resultado final.
Passo 6
Verificação rápida (como conferir na prova): calcule
a partir de
. Usando regra da cadeia,
Multiplicando por
(o lado esquerdo da equação original) obtemos
logo a solução satisfaz a equação, conferido.