Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem:
\left(x^{2}+1\right) y^{\prime}=y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(x^{2}+1\right) y^{\prime}=y
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é a função y dependente de x.
- A equação relaciona y' (derivada em relação a x) com y.
- Não foi dada condição inicial — queremos, então, a solução geral (família de soluções com constante de integração).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: isolar y'. Divido os dois lados por \left(x^{2}+1\right) (que nunca é zero), obtendo
y'=\frac{y}{x^{2}+1}.
Isto é uma equação em que a derivada de y aparece igual a uma função de x multiplicada por y. Antes de avançar, observe que a solução trivial y\equiv 0 satisfaz a equação (se y=0, então y'=0 e 0=(0)/(x^{2}+1)). Vamos tratar essa solução separadamente depois; agora assumimos y\neq 0 localmente para poder dividir por y.

Passo 3

Método de separação de variáveis (explicando o porquê): se a equação pode ser escrita com todos os termos em y num lado e todos os termos em x no outro, podemos integrar cada lado em sua variável. Aqui podemos rearranjar como
\frac{y'}{y}=\frac{1}{x^{2}+1}.
Reescrevendo y'=\dfrac{dy}{dx}, isto vira
\frac{1}{y}\,dy=\frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
Agora sim temos os y do lado esquerdo e os x do lado direito — prontos para integrar.

Passo 4

Integro ambos os lados. Lembretes das integrais que usamos:
- \displaystyle \int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y|+C. Aqui o valor absoluto aparece porque a função logarítmica natural exige argumento positivo; isso permite cobrir soluções positivas e negativas.
- \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\arctan x + C. Esta é uma integral padrão: a derivada de \arctan x é \dfrac{1}{1+x^{2}}.
Aplicando as integrais:
\int \frac{1}{y}\,dy=\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx
\Rightarrow \ln|y|=\arctan x + C,
onde C é a constante de integração (uma única constante já engloba diferenças entre as duas integrais).

Passo 5

Agora resolvo para y exponenciando ambos os lados. Da igualdade \ln|y|=\arctan x + C segue
|y|=e^{\arctan x + C}=e^{C}\,e^{\arctan x}.
Chamo A=e^{C}, onde A>0. Assim |y|=A\,e^{\arctan x}. Tirando o valor absoluto, obtemos duas possibilidades y=\pm A\,e^{\arctan x}. Podemos juntar o sinal e a constante positiva num único parâmetro C que varia por todos os reais (incluindo 0). Portanto a solução geral não-trivial pode ser escrita como
y(x)=C\,e^{\arctan x},
onde C\in\mathbb{R}. Note que C=0 recupera a solução trivial y\equiv 0, então não precisamos tratá-la separadamente no resultado final.

Passo 6

Verificação rápida (como conferir na prova): calcule y' a partir de y(x)=C\,e^{\arctan x}. Usando regra da cadeia,
y'(x)=C\,e^{\arctan x}\cdot\frac{d}{dx}(\arctan x)=C\,e^{\arctan x}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}.
Multiplicando por \left(x^{2}+1\right) (o lado esquerdo da equação original) obtemos
\left(x^{2}+1\right)y'=(x^{2}+1)\cdot C\,e^{\arctan x}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}=C\,e^{\arctan x}=y,
logo a solução satisfaz a equação, conferido.

Resposta

\displaystyle y(x)=C\,e^{\arctan x},\; C\in\mathbb{R}