Resolva as equações diferenciais pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.
(b) y'' - y' - 2y = e^(3x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo envolvido aqui é o Método dos Coeficientes Indeterminados, que usamos para encontrar soluções particulares de equações diferenciais lineares com termos não homogêneos específicos, como exponenciais, senos, cossenos, etc.

Passo 2

Vamos começar encontrando a solução geral da equação homogênea associada:
Para resolver isso, montamos a equação característica substituindo por , por e por 1:

Passo 3

Resolvendo a equação característica , encontramos as raízes:
Então, as soluções são e .

Passo 4

Com essas raízes, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular da equação original usando o Método dos Coeficientes Indeterminados. Como o termo não homogêneo é e não é solução da equação homogênea, podemos assumir uma solução particular na forma:
Onde é a constante que precisamos encontrar.

Passo 6

Calculamos as derivadas necessárias de :

Passo 7

Substituímos , e na equação diferencial original:
Simplificando:

Passo 8

Resolvendo para :
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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