Resolva as equações diferenciais ordinárias de 2 \underline{\underline{a}} ordem lineares não-homogêneas utilizando o método dos coeficientes a determinar.
y^{\prime \prime}-y^{\prime}=\operatorname{sen}(x)-\cos (x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y''-y'=\operatorname{sen}(x)-\cos(x)
e pede para resolver essa equação usando o método dos coeficientes a determinar. Ou seja, encontrar a solução geral y(x) que satisfaz essa equação. As informações relevantes são:
  • É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é \operatorname{sen}(x)-\cos(x).
  • Precisamos obter a solução geral, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). Depois usaremos o método dos coeficientes a determinar para achar uma solução particular para o termo \operatorname{sen}(x)-\cos(x). Finalmente somamos as duas partes para obter a solução geral.

Passo 3

Equação homogênea:
y''-y'=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos y=e^{rx}, então
r^2 e^{rx}-r e^{rx}=0 \quad\Rightarrow\quad (r^2-r)e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq0, a equação característica é
r^2-r=0.
Resolvendo:
r(r-1)=0 \quad\Rightarrow\quad r=0 \text{ ou } r=1.
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{0\cdot x}+C_2 e^{1\cdot x}=C_1 + C_2 e^{x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Explicação didática rápida: a técnica da equação característica transforma uma equação diferencial linear com coeficientes constantes numa equação algébrica para r. Cada raiz fornece um termo exponencial e^{rx} na solução homogênea; raiz zero dá constante.

Passo 4

Agora procuramos uma solução particular y_p(x) para a equação completa
y''-y'=\operatorname{sen}(x)-\cos(x).
Regra prática do método dos coeficientes a determinar: como o lado direito é combinação de funções trigonométricas \operatorname{sen}(x) e \cos(x), tentamos uma combinação do mesmo tipo com coeficientes desconhecidos. Então fazemos a ansatz
y_p(x)=a\operatorname{sen}(x)+b\cos(x),
onde a e b são constantes a determinar.
Observação importante (por que essa forma?): o método funciona porque derivadas de \operatorname{sen} e \cos se fecham entre si (geram novamente combinações de \operatorname{sen} e \cos), então ao substituir obteremos um sistema linear para a e b. Antes de aplicar, devemos verificar se \operatorname{sen}(x) ou \cos(x) fazem parte da solução homogênea y_h; se fizessem, seria preciso multiplicar a ansatz por potências de x. Aqui a solução homogênea é C_1 + C_2 e^{x}, que não contém senos nem cossenos, então a forma escolhida é adequada.

Passo 5

Calculemos as derivadas de y_p explicitamente:
y_p(x)=a\operatorname{sen}(x)+b\cos(x),
y_p'(x)=a\cos(x)-b\operatorname{sen}(x),
y_p''(x)=-a\operatorname{sen}(x)-b\cos(x).
Aqui foi usado que \dfrac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x) e \dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\operatorname{sen}(x).

Passo 6

Substituímos y_p'',y_p' na equação diferencial y''-y'=\operatorname{sen}(x)-\cos(x):
y_p''-y_p' = \bigl(-a\operatorname{sen}(x)-b\cos(x)\bigr) - \bigl(a\cos(x)-b\operatorname{sen}(x)\bigr).
Agora distribuindo os sinais e agrupando termos em \operatorname{sen}(x) e \cos(x):
y_p''-y_p' = (-a\operatorname{sen}(x)+b\operatorname{sen}(x)) + (-b\cos(x)-a\cos(x)).
Isto é
y_p''-y_p' = (-a+b)\operatorname{sen}(x) + (-b-a)\cos(x).
Esse resultado deve ser igual ao lado direito \operatorname{sen}(x)-\cos(x). Igualando coeficientes de \operatorname{sen}(x) e \cos(x) obtemos o sistema linear para a,b:
\begin{cases} -a+b=1,\\[4pt] -b-a=-1. \end{cases}]

Passo 7

Vamos resolver o sistema. Da primeira equação:
b=1+a.
Substituindo na segunda:
-(1+a)-a=-1.
Simplificando:
-1-2a=-1 \quad\Rightarrow\quad -2a=0 \quad\Rightarrow\quad a=0.
Então
b=1+a=1.
Portanto os coeficientes são a=0 e b=1.

Passo 8

Logo uma solução particular é
y_p(x)=0\cdot\operatorname{sen}(x)+1\cdot\cos(x)=\cos(x).
Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): calcule y_p''-y_p' com y_p=\cos x. Tem-se y_p'=-\operatorname{sen} x e y_p''=-\cos x. Então
y_p''-y_p' = -\cos x - (-\operatorname{sen} x) = \operatorname{sen} x - \cos x,
que é exatamente o lado direito. Está correto.

Passo 9

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 + C_2 e^{x} + \cos(x),
com C_1,C_2 constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{x}+\cos(x)

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