Resolva as equações diferenciais ordinárias de
ordem lineares não-homogêneas utilizando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede para resolver essa equação usando o método dos coeficientes a determinar. Ou seja, encontrar a solução geral
que satisfaz essa equação. As informações relevantes são:
- É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é
. - Precisamos obter a solução geral, que é a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). Depois usaremos o método dos coeficientes a determinar para achar uma solução particular para o termo
. Finalmente somamos as duas partes para obter a solução geral.
Passo 3
Equação homogênea:
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituímos
, então
Como
, a equação característica é
Resolvendo:
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Explicação didática rápida: a técnica da equação característica transforma uma equação diferencial linear com coeficientes constantes numa equação algébrica para
. Cada raiz fornece um termo exponencial
na solução homogênea; raiz zero dá constante.
Passo 4
Agora procuramos uma solução particular
para a equação completa
Regra prática do método dos coeficientes a determinar: como o lado direito é combinação de funções trigonométricas
e
, tentamos uma combinação do mesmo tipo com coeficientes desconhecidos. Então fazemos a ansatz
onde
e
são constantes a determinar.
Observação importante (por que essa forma?): o método funciona porque derivadas de
e
se fecham entre si (geram novamente combinações de
e
), então ao substituir obteremos um sistema linear para
e
. Antes de aplicar, devemos verificar se
ou
fazem parte da solução homogênea
; se fizessem, seria preciso multiplicar a ansatz por potências de
. Aqui a solução homogênea é
, que não contém senos nem cossenos, então a forma escolhida é adequada.
Passo 5
Calculemos as derivadas de
explicitamente:
Aqui foi usado que
e
.
Passo 6
Substituímos
na equação diferencial
:
Agora distribuindo os sinais e agrupando termos em
e
:
Isto é
Esse resultado deve ser igual ao lado direito
. Igualando coeficientes de
e
obtemos o sistema linear para
:
Passo 7
Vamos resolver o sistema. Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Simplificando:
Então
Portanto os coeficientes são
e
.
Passo 8
Logo uma solução particular é
Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): calcule
com
. Tem-se
e
. Então
que é exatamente o lado direito. Está correto.
Passo 9
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
com
constantes arbitrárias.