Resolva as equações diferenciais ordinárias de
ordem lineares não-homogêneas utilizando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem não-homogênea e retornar a solução geral. A equação dada é:
Informações relevantes do enunciado:
- É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (forçamento) é
. - Não foram dadas condições iniciais, portanto devemos encontrar a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito zero). A homogênea é
Método: substituir uma solução do tipo
. Isso transforma a EDO numa equação algébrica chamada equação característica. Substituindo:
Dividindo por
(que nunca é zero) obtemos a característica
Agora resolvemos essa equação quadrática. Calcula-se o discriminante:
As raízes são
logo
Como as raízes são reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Explicando rapidinho: cada
é solução da homogênea e são linearmente independentes quando as raízes são distintas.
Passo 3
Agora usamos o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular
da equação completa. Ideia do método (explicada de forma didática):
- Quando o termo não-homogêneo é uma combinação linear de funções “simples” (polinômios, exponenciais, senos/cossenos, ou produto destes), tenta-se uma ansatz (chute) com a mesma forma, com coeficientes desconhecidos.
- Se a forma escolhida aparece entre as soluções da homogênea (isso chama-se ressonância), multiplica-se a ansatz por um fator
onde é o menor inteiro que elimina a coincidência.
No nosso caso o termo forçante é
, ou seja uma exponencial com expoente
. Então um chute natural é
onde
é constante a determinar. Antes de usar, verificamos ressonância: precisamos checar se
é raiz da equação característica. Substituindo
em
obtemos
Como não é zero, não há ressonância: a forma
é autorizada (não precisa multiplicar por
).
Passo 4
Calculamos as derivadas de
e substituímos na EDO para determinar
.
Substituindo na equação original:
Isso deve ser igual a
. Logo
Portanto a solução particular é
Passo 5
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias que seriam determinadas por condições iniciais, se fornecidas.
Dica rápida para a prova (resumindo o método):
- Resolver homogênea via equação característica.
- Para o termo forçante do tipo
, tentar onde é polinômio do mesmo grau que e é 0 se não é raiz da característica, ou o menor inteiro positivo tal que multiplicidade de na característica remova a ressonância. - Substituir e resolver os coeficientes.