Resolva as equações diferenciais ordinárias de 2 \underline{\underline{a}} ordem lineares não-homogêneas utilizando o método dos coeficientes a determinar.
y^{\prime \prime}-10 y^{\prime}+16 y=7 e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem não-homogênea e retornar a solução geral. A equação dada é:
y^{\prime\prime}-10y^{\prime}+16y=7e^{x}.
Informações relevantes do enunciado:
  • É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (forçamento) é 7e^{x}.
  • Não foram dadas condições iniciais, portanto devemos encontrar a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito zero). A homogênea é
y^{\prime\prime}-10y^{\prime}+16y=0.
Método: substituir uma solução do tipo y=e^{rx}. Isso transforma a EDO numa equação algébrica chamada equação característica. Substituindo:
y=e^{rx}\quad\Rightarrow\quad y' = r e^{rx},\quad y''=r^{2} e^{rx}.
Dividindo por e^{rx} (que nunca é zero) obtemos a característica
r^{2}-10r+16=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Calcula-se o discriminante:
\Delta = (-10)^{2}-4\cdot1\cdot16 =100-64=36.
As raízes são
r=\frac{10\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{10\pm6}{2},
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r_{1}=8,\qquad r_{2}=2.
Como as raízes são reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}e^{8x}+C_{2}e^{2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Explicando rapidinho: cada e^{r_{i}x} é solução da homogênea e são linearmente independentes quando as raízes são distintas.

Passo 3

Agora usamos o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular y_{p} da equação completa. Ideia do método (explicada de forma didática):
  • Quando o termo não-homogêneo é uma combinação linear de funções “simples” (polinômios, exponenciais, senos/cossenos, ou produto destes), tenta-se uma ansatz (chute) com a mesma forma, com coeficientes desconhecidos.
  • Se a forma escolhida aparece entre as soluções da homogênea (isso chama-se ressonância), multiplica-se a ansatz por um fator x^{s} onde s é o menor inteiro que elimina a coincidência.
No nosso caso o termo forçante é 7e^{x}, ou seja uma exponencial com expoente \alpha=1. Então um chute natural é
y_{p}=A e^{x},
onde A é constante a determinar. Antes de usar, verificamos ressonância: precisamos checar se r=\alpha=1 é raiz da equação característica. Substituindo r=1 em r^{2}-10r+16 obtemos
1^{2}-10\cdot1+16=1-10+16=7\neq0.
Como não é zero, não há ressonância: a forma Ae^{x} é autorizada (não precisa multiplicar por x).

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p} e substituímos na EDO para determinar A.
y_{p}=A e^{x},\qquad y_{p}^{\prime}=A e^{x},\qquad y_{p}^{\prime\prime}=A e^{x}.
Substituindo na equação original:
y_{p}^{\prime\prime}-10y_{p}^{\prime}+16y_{p} = A e^{x}-10A e^{x}+16A e^{x}=(1-10+16)A e^{x}=7A e^{x}.
Isso deve ser igual a 7e^{x}. Logo
7A e^{x}=7 e^{x}\quad\Rightarrow\quad 7A=7\quad\Rightarrow\quad A=1.
Portanto a solução particular é
y_{p}=e^{x}.

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}+y_{p}=C_{1}e^{8x}+C_{2}e^{2x}+e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias que seriam determinadas por condições iniciais, se fornecidas.
Dica rápida para a prova (resumindo o método):
  • Resolver homogênea via equação característica.
  • Para o termo forçante do tipo P(x)e^{\alpha x}, tentar x^{s}Q(x)e^{\alpha x} onde Q é polinômio do mesmo grau que P e s é 0 se \alpha não é raiz da característica, ou o menor inteiro positivo tal que s+ multiplicidade de \alpha na característica remova a ressonância.
  • Substituir e resolver os coeficientes.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{8x}+C_{2}e^{2x}+e^{x}

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