Resolva as equações diferenciais ordinárias de 2 \underline{\underline{a}} ordem lineares não-homogêneas utilizando o método dos coeficientes a determinar.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem não-homogênea
y''-2y'+y=\operatorname{sen}(x).
Informações dadas e o que se quer obter:
  • A equação é linear, de ordem 2, com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo é \operatorname{sen}(x) (função trigonométrica).
  • Precisamos encontrar a solução geral y(x), que é a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y''-2y'+y=0.
Explicação didática: para equações lineares com coeficientes constantes, é clássico tentar uma solução da forma y=e^{rx}. Substituindo essa forma e dividindo por e^{rx} (que nunca é zero), obtemos a equação característica polinomial em r.
Formamos a equação característica:
r^2-2r+1=0.
Resolvendo o polinômio:
r^2-2r+1=(r-1)^2=0,
logo r=1 é uma raiz de multiplicidade 2.
Quando a raiz r=1 tem multiplicidade 2, as soluções independentes da homogênea são e^{x} e x e^{x}. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x)=\big(C_1+C_2 x\big)e^{x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p(x) da equação completa. Vou explicar o método dos coeficientes a determinar de forma simples e concreta:
  • Quando o segundo membro é uma combinação de funções do tipo polinômio, exponencial, seno e cosseno (ou produto deles), tenta-se um ansatz (chute) cuja forma contenha as mesmas funções com coeficientes desconhecidos.
  • Se a forma escolhida coincide com alguma solução da homogênea (resonância), multiplica-se o ansatz por x^s, onde s é o menor inteiro positivo que elimina a coincidência.
Aqui o segundo membro é \operatorname{sen}(x). O chute padrão é
y_p(x)=A\cos x+B\sin x,
com A,B constantes a determinar. Antes de usar esse chute, verificamos se há ressonância: testar se e^{ix} (ou seja, r=i) satisfaz a equação característica. Calculando
r^2-2r+1\Big|_{r=i}=i^2-2i+1=-1-2i+1=-2i\neq 0.
Como não é zero, não há ressonância: o chute A\cos x+B\sin x é adequado (não precisa multiplicar por x).

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_p. Colocando o chute
y_p(x)=A\cos x+B\sin x,
temos as derivadas:
y_p'(x)=-A\sin x+B\cos x,
y_p''(x)=-A\cos x-B\sin x.
Expliquei cada termo: derivada de \cos x é -\sin x, derivada de \sin x é \cos x.

Passo 5

Substituímos y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial e agrupamos os coeficientes de \cos x e \sin x.
A esquerda fica
y_p''-2y_p'+y_p.
Substituindo as expressões:
(-A\cos x - B\sin x) -2(-A\sin x + B\cos x) + (A\cos x + B\sin x).
Agora vamos agrupar termos em \cos x e \sin x. Para \cos x:
\text{coeficiente de }\cos x: \\ (-A) -2(B) + A = -2B.
Para \sin x:
\text{coeficiente de }\sin x: \\ (-B) -2(-A) + B = 2A.
Logo
y_p''-2y_p'+y_p = (-2B)\cos x + (2A)\sin x.
Queremos que isso seja igual ao lado direito \operatorname{sen}(x)=0\cdot\cos x + 1\cdot\sin x. Igualando coeficientes obtemos o sistema linear para A,B:
-2B=0,
2A=1.
Da primeira equação vem B=0. Da segunda vem A=\dfrac{1}{2}.
Portanto a solução particular é
y_p(x)=\frac{1}{2}\cos x.

Passo 6

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução geral da homogênea com a solução particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=\big(C_1+C_2 x\big)e^{x}+\frac{1}{2}\cos x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, se houver.
Verificação rápida (opcional): se alguém quiser checar, pode derivar essa y(x) e substituir na equação original; os termos vindos de \big(C_1+C_2 x\big)e^{x} cancelam (pois é solução da homogênea) e o termo \tfrac{1}{2}\cos x produz exatamente \sin x no lado direito, conforme calculado.

Resposta

y(x)=\big(C_1+C_2 x\big)e^{x}+\frac{1}{2}\cos x

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