Resolva as equações diferenciais usando o método da separação das variáveis:
n)
n)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A gente vai usar o método da separação das variáveis, que é uma técnica para resolver equações onde conseguimos isolar os termos que dependem de
de um lado e os que dependem de
do outro. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como rearranjá-las para aplicar esse método.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar os termos com
de um lado e os termos com
do outro. A equação original é:
Podemos subtrair
de ambos os lados para isolar o termo com
:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para fazer isso, vamos dividir ambos os lados da equação por
e também por
:
Lembrando que
, mas aqui vamos manter como
para facilitar a integração.
Passo 4
Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A integral de
é
e a integral de
é
.
Então, integrando:
Passo 5
Vamos resolver as integrais:
A integral de
é:
Para a integral de
, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à nossa equação integrada:
Podemos reescrever isso como:
Para simplificar, podemos absorver a constante
em uma constante multiplicativa, já que
é uma constante.
Passo 7
Aplicando a exponenciação dos dois lados para resolver para
:
Como
é uma constante, podemos chamar de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.