Resolva as equações diferenciais usando o método da separação das variáveis:
n) sec^2(x) dy + y dx = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A gente vai usar o método da separação das variáveis, que é uma técnica para resolver equações onde conseguimos isolar os termos que dependem de de um lado e os que dependem de do outro. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como rearranjá-las para aplicar esse método.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar os termos com de um lado e os termos com do outro. A equação original é:
Podemos subtrair de ambos os lados para isolar o termo com :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para fazer isso, vamos dividir ambos os lados da equação por e também por :
Lembrando que , mas aqui vamos manter como para facilitar a integração.

Passo 4

Agora que as variáveis estão separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A integral de é e a integral de é .
Então, integrando:

Passo 5

Vamos resolver as integrais:
A integral de é:
Para a integral de , usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à nossa equação integrada:
Podemos reescrever isso como:
Para simplificar, podemos absorver a constante em uma constante multiplicativa, já que é uma constante.

Passo 7

Aplicando a exponenciação dos dois lados para resolver para :
Como é uma constante, podemos chamar de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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