Resolva as equações.
frac{x^{2}}{3 x-2}=2 x-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação racional
\frac{x^{2}}{3x-2}=2x-1.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Temos uma expressão racional com denominador 3x-2.
  • Precisamos encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade.
  • Observação importante (domínio): o denominador não pode ser zero, logo devemos exigir 3x-2\neq0, isto é x\neq\frac{2}{3}. Qualquer solução que surgir igual a \frac{2}{3} deve ser descartada.

Passo 2

Estratégia para resolver (explicação didática):
  • Para eliminar o denominador e reduzir a equação a uma equação polinomial, multiplica-se ambos os lados pelo denominador 3x-2. Isso só é permitido porque já excluímos os x que anulam o denominador.
  • Depois de multiplicar, obtém-se uma equação polinomial (aqui, um polinômio quadrático), que pode ser resolvida por métodos conhecidos (fatoração ou fórmula de Bhaskara / fórmula quadrática).
  • Sempre que multiplicamos por uma expressão que pode ser zero em algum ponto, é preciso verificar o domínio antes de multiplicar — foi o que fizemos no Passo 1.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 3x-2 (lembrando que x\neq\frac{2}{3}):
x^{2}=(2x-1)(3x-2).
Agora vamos expandir o produto do lado direito. Para multiplicar dois binômios, usa-se a propriedade distributiva (cada termo do primeiro vezes cada termo do segundo):
(2x-1)(3x-2)=2x\cdot 3x + 2x\cdot(-2) + (-1)\cdot 3x + (-1)\cdot(-2).
Calculando termo a termo:
2x\cdot 3x = 6x^{2},\quad 2x\cdot(-2)=-4x,\quad (-1)\cdot 3x=-3x,\quad (-1)\cdot(-2)=2.
Somando esses termos:
(2x-1)(3x-2)=6x^{2}-4x-3x+2=6x^{2}-7x+2.
Portanto a equação fica
x^{2}=6x^{2}-7x+2.

Passo 4

Colocar todos os termos num lado para obter um polinômio igual a zero:
0=6x^{2}-7x+2 - x^{2}.
Subtraindo x^{2}:
0=5x^{2}-7x+2.
Logo devemos resolver a equação quadrática
5x^{2}-7x+2=0.

Passo 5

Resolver a quadrática usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Vou explicar a fórmula:
  • Para uma equação quadrática geral ax^{2}+bx+c=0, as soluções são dadas por
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b e c são os coeficientes da equação.
Aqui, a=5, b=-7 (atenção: é menos sete) e c=2.
Calcular o discriminante \Delta=b^{2}-4ac:
\Delta = (-7)^{2}-4\cdot 5\cdot 2 = 49-40 = 9.
Como \Delta=9 é um quadrado perfeito, teremos raízes racionais.
Aplicando a fórmula:
x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{9}}{2\cdot 5}=\frac{7\pm 3}{10}.
Assim as duas soluções são:
x_{1}=\frac{7+3}{10}=\frac{10}{10}=1,
x_{2}=\frac{7-3}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.

Passo 6

Verificação e checagem de domínio (sempre importante em equações racionais):
  • Lembrando que x\neq\frac{2}{3}. As soluções encontradas são x=1 e x=\frac{2}{5}. Nenhuma delas é \frac{2}{3}, então ambas estão no domínio.
  • Podemos checar rapidamente substituindo na equação original.
Verificação para x=1:
\frac{1^{2}}{3\cdot 1-2}=\frac{1}{3-2}=\frac{1}{1}=1, \qquad 2\cdot 1-1=2-1=1.
Os dois lados coincidem, logo x=1 é solução.
Verificação para x=\frac{2}{5}:
Calcular o denominador 3x-2=3\cdot\frac{2}{5}-2=\frac{6}{5}-2=\frac{6-10}{5}=\frac{-4}{5}.
Calcular o numerador x^{2}=\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}.
Logo o lado esquerdo é
\frac{x^{2}}{3x-2}=\frac{\tfrac{4}{25}}{\tfrac{-4}{5}}=\frac{4}{25}\cdot\frac{5}{-4}=\frac{4\cdot 5}{25\cdot(-4)}=\frac{20}{-100}=-\frac{1}{5}.
O lado direito:
2x-1=2\cdot\frac{2}{5}-1=\frac{4}{5}-1=\frac{4-5}{5}=-\frac{1}{5}.
Coincidem, logo x=\frac{2}{5} também é solução.

Passo 7

Conclusão: as duas raízes obtidas são válidas e não violam o domínio. Não há soluções extraneous a descartar.

Resposta

x=1
x=\dfrac{2}{5}

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