Resolva as equações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação racional
Informações dadas e o que é pedido:
- Temos uma expressão racional com denominador
. - Precisamos encontrar todos os valores de
que satisfazem essa igualdade. - Observação importante (domínio): o denominador não pode ser zero, logo devemos exigir
, isto é . Qualquer solução que surgir igual a deve ser descartada.
Passo 2
Estratégia para resolver (explicação didática):
- Para eliminar o denominador e reduzir a equação a uma equação polinomial, multiplica-se ambos os lados pelo denominador
. Isso só é permitido porque já excluímos os que anulam o denominador. - Depois de multiplicar, obtém-se uma equação polinomial (aqui, um polinômio quadrático), que pode ser resolvida por métodos conhecidos (fatoração ou fórmula de Bhaskara / fórmula quadrática).
- Sempre que multiplicamos por uma expressão que pode ser zero em algum ponto, é preciso verificar o domínio antes de multiplicar — foi o que fizemos no Passo 1.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que
):
Agora vamos expandir o produto do lado direito. Para multiplicar dois binômios, usa-se a propriedade distributiva (cada termo do primeiro vezes cada termo do segundo):
Calculando termo a termo:
Somando esses termos:
Portanto a equação fica
Passo 4
Colocar todos os termos num lado para obter um polinômio igual a zero:
Subtraindo
:
Logo devemos resolver a equação quadrática
Passo 5
Resolver a quadrática usando a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Vou explicar a fórmula:
- Para uma equação quadrática geral
, as soluções são dadas por
onde
,
e
são os coeficientes da equação.
Aqui, ,
(atenção: é menos sete) e
.
Aqui,
Calcular o discriminante
:
Como
é um quadrado perfeito, teremos raízes racionais.
Aplicando a fórmula:
Assim as duas soluções são:
Passo 6
Verificação e checagem de domínio (sempre importante em equações racionais):
- Lembrando que
. As soluções encontradas são e . Nenhuma delas é , então ambas estão no domínio. - Podemos checar rapidamente substituindo na equação original.
Verificação para
:
Os dois lados coincidem, logo
é solução.
Verificação para
:
Calcular o denominador .
Calcular o numerador .
Logo o lado esquerdo é
Calcular o denominador
Calcular o numerador
Logo o lado esquerdo é
O lado direito:
Coincidem, logo
também é solução.
Passo 7
Conclusão: as duas raízes obtidas são válidas e não violam o domínio. Não há soluções extraneous a descartar.