Resolva as equações.
h) \left|x^{2}-9\right|=\left|2 x^{2}-3\right|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\left|x^{2}-9\right|=\left|2x^{2}-3\right|
para x real. Informação dada: a incógnita x é um número real e aparecem expressões quadráticas dentro de valor absoluto. O objetivo é encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Regra importante sobre valor absoluto que vamos usar (explicada devagarinho): para quaisquer números reais A e B vale
|A|=|B|\quad\Longleftrightarrow\quad A=B\\ \text{ou}\\ A=-B.
Por que isso é verdade? Porque |A|=|B| implica A^{2}=B^{2}. E A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)=0, logo ou A-B=0 (ou seja A=B) ou A+B=0 (ou seja A=-B). Um exemplo numérico simples: |3|=|-3| porque 3=-(-3).

Passo 3

Aplicando essa regra com A=x^{2}-9 e B=2x^{2}-3, temos duas possibilidades a resolver separadamente:
Caso (i): x^{2}-9=2x^{2}-3.
Caso (ii): x^{2}-9=-(2x^{2}-3).
Vou resolver cada caso passo a passo.

Passo 4

Resolver o caso (i): x^{2}-9=2x^{2}-3.
Passos:
x^{2}-9=2x^{2}-3
subtrair x^{2} dos dois lados:
-9 = x^{2}-3
adicione 3 aos dois lados:
-6 = x^{2}
Ou seja
x^{2}=-6.
Como o quadrado de um número real nunca é negativo, essa equação não tem solução real. Portanto o caso (i) não fornece soluções reais.

Passo 5

Resolver o caso (ii): x^{2}-9=-(2x^{2}-3).
Passos:
x^{2}-9=-2x^{2}+3
somar 2x^{2} aos dois lados:
3x^{2}-9=3
adicionar 9 aos dois lados:
3x^{2}=12
dividir por 3:
x^{2}=4
tomando raiz quadrada (lembrando que podem ser as duas escolhas \pm):
x=2\quad\text{ou}\quad x=-2.

Passo 6

Verificação rápida (sempre é bom checar na prova para evitar erros):
Para x=2: x^{2}=4. Então
|x^{2}-9|=|4-9|=|{-5}|=5, \qquad |2x^{2}-3|=|8-3|=|5|=5,
iguais — aceita.
Para x=-2: x^{2}=4 também, então os valores absolutos são os mesmos e a igualdade vale — aceita.

Resposta

\,x=2\n \,x=-2

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