Resolva as equações:
\left(1+x^{2}\right) y^{\prime}+x y+\left(1+x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\left(1+x^{2}\right) y^{\prime}+x y+\left(1+x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}=0.
Informações dadas:
  • A equação envolve a função desconhecida y(x) e sua derivada y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx}.
  • Os coeficientes dependem apenas da variável x.
  • Não há condições iniciais; a solução geral deve conter uma constante arbitrária.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) da equação diferencial.

Passo 2

Transformar a equação para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por \left(1+x^{2}\right) (essa expressão é sempre positiva, então a divisão é válida para todo x):
y^{\prime}+\frac{x}{1+x^{2}}\,y+\frac{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}{1+x^{2}}=0.
Simplificando o termo final:
\frac{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}{1+x^{2}}=\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}.
Logo a equação fica
y^{\prime}+\frac{x}{1+x^{2}}\,y+\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}=0.
Reescrevendo isolando o termo não homogêneo:
y^{\prime}+\frac{x}{1+x^{2}}\,y=-\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}.

Passo 3

Identificar que se trata de uma equação linear de primeira ordem da forma
y^{\prime}+p(x)\,y=q(x),
onde, neste problema,
p(x)=\frac{x}{1+x^{2}},\qquad q(x)=-\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}.
Método: usar o fator integrante (integrating factor) \mu(x)=\exp\!\big(\int p(x)\,dx\big). Esse fator transforma o lado esquerdo em uma derivada do produto \mu(x)y.
Calculemos \mu(x):
\int p(x)\,dx=\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
Fazer a primitiva: substiuição u=1+x^{2} du=2x\,dx, portanto
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln\big(1+x^{2}\big).
Assim
\mu(x)=\exp\!\left(\tfrac{1}{2}\ln\big(1+x^{2}\big)\right)=\big(1+x^{2}\big)^{\frac{1}{2}}.
Observação: escolhemos a raiz positiva porque \exp produz positivo; é o fator integrante clássico \mu(x)=\sqrt{1+x^{2}}.

Passo 4

Multiplicar a equação padrão por \mu(x). A equação
y^{\prime}+\frac{x}{1+x^{2}}\,y=-\left(1+x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}
multiplicada por \mu(x)=\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}} torna-se
\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}y^{\prime}+\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\frac{x}{1+x^{2}}\,y =-\left(1+x^{2}\right)^{2}.
Note que o lado esquerdo é a derivada do produto \mu(x)y, porque \mu'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}=\mu(x)\,p(x). Portanto podemos escrever
\frac{d}{dx}\!\left(\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}y\right) = -\left(1+x^{2}\right)^{2}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x. Temos
\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}y = -\int\left(1+x^{2}\right)^{2}\,dx + C,
onde C é a constante de integração.
Calcule a integral \displaystyle \int\left(1+x^{2}\right)^{2}\,dx. Expandindo o quadrado:
\left(1+x^{2}\right)^{2}=1+2x^{2}+x^{4}.
Assim
\int\left(1+2x^{2}+x^{4}\right)\,dx = \int 1\,dx + 2\int x^{2}\,dx + \int x^{4}\,dx.
Calculando primitivas term a term:
\int 1\,dx = x,\qquad \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int x^{4}\,dx=\frac{x^{5}}{5}.
Portanto
\int\left(1+x^{2}\right)^{2}\,dx = x + 2\cdot\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} = x + \frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{5}x^{5}.
Voltando à expressão com o sinal negativo:
\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}y = -\left(x + \frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{5}x^{5}\right) + C.

Passo 6

Isolar y(x) dividindo por \left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}:
y(x) = \frac{C - x - \frac{2}{3}x^{3} - \frac{1}{5}x^{5}}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}.
Podemos deixar a constante de integração como C (qualquer constante real). Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Verificação rápida (check mental): derivando \left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}y deve retornar -\left(1+x^{2}\right)^{2}, o que coincide com o processo de integração que fizemos. Isso dá confiança de que os passos algébricos e integrais foram feitos corretamente.

Resposta

y(x)=\frac{C - x - \dfrac{2}{3}x^{3} - \dfrac{1}{5}x^{5}}{\left(1+x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}