Resolva as equações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Informações dadas:
- A equação envolve a função desconhecida
e sua derivada . - Os coeficientes dependem apenas da variável
. - Não há condições iniciais; a solução geral deve conter uma constante arbitrária.
O que se pede: encontrar a solução geral
da equação diferencial.
Passo 2
Transformar a equação para a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por
(essa expressão é sempre positiva, então a divisão é válida para todo
):
Simplificando o termo final:
Logo a equação fica
Reescrevendo isolando o termo não homogêneo:
Passo 3
Identificar que se trata de uma equação linear de primeira ordem da forma
onde, neste problema,
Método: usar o fator integrante (integrating factor)
. Esse fator transforma o lado esquerdo em uma derivada do produto
.
Calculemos
:
Fazer a primitiva: substiuição
dá
, portanto
Assim
Observação: escolhemos a raiz positiva porque
produz positivo; é o fator integrante clássico
.
Passo 4
Multiplicar a equação padrão por
. A equação
multiplicada por
torna-se
Note que o lado esquerdo é a derivada do produto
, porque
. Portanto podemos escrever
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
. Temos
onde
é a constante de integração.
Calcule a integral
. Expandindo o quadrado:
Assim
Calculando primitivas term a term:
Portanto
Voltando à expressão com o sinal negativo:
Passo 6
Isolar
dividindo por
:
Podemos deixar a constante de integração como
(qualquer constante real). Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Verificação rápida (check mental): derivando
deve retornar
, o que coincide com o processo de integração que fizemos. Isso dá confiança de que os passos algébricos e integrais foram feitos corretamente.