Resolva as equações: s d^2y/dx^2 + dy/dx - 6y = x e^(2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A gente vai lidar com equações diferenciais de segunda ordem e coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea e depois uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Para isso, a gente monta a equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os valores de :
Então, as soluções são e . Isso nos dá a solução geral da equação homogênea:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Observamos que o termo já está presente na solução homogênea, então precisamos multiplicar por para evitar duplicação. Portanto, assumimos a forma:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo , e na equação original:
Simplificando:
Agrupando termos:
Comparando os coeficientes:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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