Resolva as equações seguintes fazendo a mudança de variáveis v = y / x: (x + raiz(x y)) * dy/dx + x - y = x^(-1/2) * y^(3/2).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa resolver a equação diferencial:
Esse problema está dentro do conteúdo de equações diferenciais, mais especificamente envolvendo uma mudança de variável. Para resolver, vamos precisar aplicar a substituição , que vai simplificar a equação e facilitar nossa vida. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a mudança de variável sugerida: . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, .
Usando a regra do produto para a derivada, temos:
Então, substituímos e na equação original:

Passo 3

Vamos simplificar os termos passo a passo. Primeiro, note que:
Substituindo de volta na equação:
Agora, simplificamos mais:
Observe que , então:

Passo 4

Vamos dividir todos os termos por para simplificar:
Expandindo o primeiro termo:
Simplificando os termos:
Os termos se cancelam:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 5

Agora, isolamos :
Dividindo ambos os lados por :
Essa forma sugere uma equação separável, onde podemos separar as variáveis e para integrar.

Passo 6

Vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por e multiplicando por :
Agora, temos:
Vamos integrar ambos os lados.

Passo 7

Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Igualando as integrais:

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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