Resolva as equações seguintes fazendo a mudança de variáveis
:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa resolver a equação diferencial:
Esse problema está dentro do conteúdo de equações diferenciais, mais especificamente envolvendo uma mudança de variável. Para resolver, vamos precisar aplicar a substituição
, que vai simplificar a equação e facilitar nossa vida. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a mudança de variável sugerida:
. Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Usando a regra do produto para a derivada, temos:
Então, substituímos
e
na equação original:
Passo 3
Vamos simplificar os termos passo a passo. Primeiro, note que:
Substituindo de volta na equação:
Agora, simplificamos mais:
Observe que
, então:
Passo 4
Vamos dividir todos os termos por
para simplificar:
Expandindo o primeiro termo:
Simplificando os termos:
Os termos
se cancelam:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 5
Agora, isolamos
:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa forma sugere uma equação separável, onde podemos separar as variáveis
e
para integrar.
Passo 6
Vamos separar as variáveis multiplicando ambos os lados por
e multiplicando por
:
Agora, temos:
Vamos integrar ambos os lados.
Passo 7
Integrando o lado esquerdo:
Integrando o lado direito:
Igualando as integrais:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Essa é a solução implícita da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.