Resolva as equações separáveis:
, condição inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo separável:
. O que isso significa é que podemos separar as variáveis
e
para facilitar a resolução. Vamos precisar usar técnicas de integração e aplicar a condição inicial
para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado:
Aqui, usei a propriedade de que
.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Isso facilita a integração dos dois lados.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, o lado esquerdo com respeito a
:
Integrando:
Simplificando os expoentes:
Multiplicando ambos os lados por
:
Onde
é uma constante de integração ajustada.
Passo 5
Agora, elevamos ambos os lados ao cubo para resolver para
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 6
Vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Para que isso seja verdadeiro, o que está dentro do cubo precisa ser zero:
Passo 7
Substituindo
na solução geral, temos:
Essa é a solução particular que satisfaz a condição inicial dada.
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial
é: