Resolva as equações separáveis: y' = 3 * raiz(cubica(y^2)), condição inicial y(2) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo separável: . O que isso significa é que podemos separar as variáveis e para facilitar a resolução. Vamos precisar usar técnicas de integração e aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar isolado:
Aqui, usei a propriedade de que .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, colocamos todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Isso facilita a integração dos dois lados.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, o lado esquerdo com respeito a :
Integrando:
Simplificando os expoentes:
Multiplicando ambos os lados por :
Onde é uma constante de integração ajustada.

Passo 5

Agora, elevamos ambos os lados ao cubo para resolver para :
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 6

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de :
Para que isso seja verdadeiro, o que está dentro do cubo precisa ser zero:

Passo 7

Substituindo na solução geral, temos:
Essa é a solução particular que satisfaz a condição inicial dada.

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial é:

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