Resolva as equações.
\sqrt{5-x^{2}}=3-2 x

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação
\sqrt{5-x^{2}}=3-2x.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Tem-se uma raiz quadrada à esquerda, portanto o lado esquerdo é um número não negativo.
  • A incógnita é x real; devemos encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Condição de existência da raiz: o argumento da raiz quadrada deve ser não negativo. Assim:
5-x^{2}\ge 0.
Essa desigualdade significa
x^{2}\le 5 \quad\Longrightarrow\quad -\sqrt{5}\le x\le \sqrt{5}.
Isto é uma restrição inicial sobre os possíveis valores de x.

Passo 3

Observação sobre sinais: como \sqrt{5-x^{2}} é não negativo para todo x admissível, o lado direito também precisa ser não negativo. Logo devemos ter
3-2x\ge 0.
Resolvendo essa inequação:
-2x\ge -3 \quad\Longrightarrow\quad x\le \tfrac{3}{2}.

Passo 4

Combinação das restrições: os candidatos x devem satisfazer simultaneamente
-\sqrt{5}\le x\le \sqrt{5} \quad\text{e}\quad x\le \tfrac{3}{2}.
Como \sqrt{5}\approx 2{,}236>\tfrac{3}{2}, a interseção fica
-\sqrt{5}\le x\le \tfrac{3}{2}.
Qualquer solução obtida depois deve pertencer a esse intervalo; em particular devemos eliminar soluções que violem x\le \tfrac{3}{2}.

Passo 5

Isolamento e elevação ao quadrado: a equação já tem a raiz isolada; agora elevamos ambos os lados ao quadrado (lembrando que isso pode introduzir raízes extranhas, por isso há que verificar depois):
\bigl(\sqrt{5-x^{2}}\bigr)^{2}=(3-2x)^{2}.
Simplificando:
5-x^{2}=9-12x+4x^{2}.

Passo 6

Rearranjar em forma polinomial e resolver: somando x^{2} aos dois lados e subtraindo 9,
0=9-12x+4x^{2}+x^{2}-5
o que dá
0=5x^{2}-12x+4.
Temos uma quadrática. Calcular o discriminante:
\Delta = (-12)^{2}-4\cdot 5\cdot 4=144-80=64.
Raiz quadrada do discriminante é \sqrt{\Delta}=8. As raízes são
x=\frac{12\pm 8}{10}.
Portanto as soluções da quadrática são
x=\frac{12+8}{10}=\frac{20}{10}=2 \quad\text{e}\quad x=\frac{12-8}{10}=\frac{4}{10}=\tfrac{2}{5}.

Passo 7

Verificação das candidatas na equação original (importante para eliminar extranas):
  • Para x=2: computar lados.
\sqrt{5-2^{2}}=\sqrt{5-4}=\sqrt{1}=1,
3-2\cdot 2=3-4=-1.
Temos 1=-1, falso. Além disso x=2 viola a condição x\le \tfrac{3}{2}. Logo x=2 é extranho e deve ser rejeitado.
  • Para x=\tfrac{2}{5}: computar lados.
\sqrt{5-\left(\tfrac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{5-\tfrac{4}{25}}=\sqrt{\tfrac{125-4}{25}}=\sqrt{\tfrac{121}{25}}=\tfrac{11}{5},
3-2\cdot \tfrac{2}{5}=3-\tfrac{4}{5}=\tfrac{15-4}{5}=\tfrac{11}{5}.
Temos igualdade \tfrac{11}{5}=\tfrac{11}{5}, verdadeira. Além disso \tfrac{2}{5} satisfaz -\sqrt{5}\le \tfrac{2}{5}\le \tfrac{3}{2}. Logo x=\tfrac{2}{5} é solução válida.

Passo 8

Conclusão: a única solução real da equação é
x=\tfrac{2}{5}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{2}{5}

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