Resolva as equações.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os números reais
que satisfazem a equação
Informações dadas:
- A expressão dentro da raiz é
. - O lado direito da igualdade é
. - A pergunta é: quais valores de
tornam verdadeira essa igualdade?
Passo 2
Condição de existência e sinal: quando aparece
(raiz quadrada principal), o resultado é sempre um número não negativo. Portanto, para que a igualdade seja possível, o lado direito também precisa ser não negativo. Vamos verificar isso.
A condição de não negatividade do lado direito é
Resolvendo,
Observação sobre o radicando:
para todo
, então o radicando não impõe restrição adicional. Assim, só precisamos considerar soluções com
.
Passo 3
Isolar e elevar ao quadrado: como ambos os lados agora são não negativos (no domínio considerado), podemos elevar os dois lados ao quadrado sem conflito de sinais. Ao elevar,
Isso gera a equação
Passo 4
Expandir e simplificar: calcule o quadrado do binômio no lado direito e passe tudo para um lado:
então
Subtraindo
de ambos os lados:
Simplificando termos semelhantes:
Dividindo por
:
Passo 5
Resolver a quadrática: fatorando
,
Portanto as raízes são
Passo 6
Aplicar a condição inicial (
) e checar extranosas: das soluções encontradas,
não satisfaz
, então é descartada. A candidata
satisfaz a condição; vamos checar na equação original:
Calcular o lado esquerdo para
:
Calcular o lado direito para
:
Como os dois lados coincidem,
é solução válida. Observação: o valor
seria solução da equação obtida ao quadrar ambos os lados, mas falha na equação original porque o lado direito fica negativo (
) enquanto a raiz é não negativa — é um exemplo de solução extraneous gerada ao elevar ao quadrado.