Resolva as equações.
\sqrt{2 x+1}=x-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\sqrt{2x+1}=x-1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é x (procuramos soluções reais).
  • O símbolo \sqrt{\cdot} denota a raiz quadrada principal, i.e., um número não negativo.
  • Devemos encontrar todos os valores de x que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Determinar as restrições de domínio impostas pela equação.
  • O radicando deve ser não negativo:
2x+1 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x \ge -\tfrac{1}{2}.
  • Como a raiz quadrada principal é não negativa, o lado direito também precisa ser não negativo:
x-1 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x \ge 1.
Portanto, qualquer solução precisa satisfazer simultaneamente x \ge -\tfrac{1}{2} e x \ge 1. A interseção é
x \ge 1.
Ou seja, só faz sentido procurar soluções com x\ge 1.

Passo 3

Como em x\ge 1 ambos os lados da equação são não negativos, podemos elevar os dois lados ao quadrado sem introduzir ambiguidade. Elevando ao quadrado:
(\sqrt{2x+1})^2=(x-1)^2.
Isso simplifica para
2x+1=(x-1)^2.

Passo 4

Expandir e reorganizar a equação quadrática.
Calcular (x-1)^2:
(x-1)^2=x^2-2x+1.
Substituindo:
2x+1=x^2-2x+1.
Levar tudo para um lado:
0=x^2-2x+1-(2x+1)=x^2-4x.

Passo 5

Resolver a equação fatorando:
x^2-4x = x(x-4)=0.
Assim as raízes são
x=0\quad\text{ou}\quad x=4.

Passo 6

Aplicar a restrição de domínio x\ge 1 e checar as soluções no enunciado.
  • x=0 não satisfaz x\ge 1, portanto é descartado. Além disso, verificando na equação original: \sqrt{2\cdot0+1}=\sqrt{1}=1 e 0-1=-1, não são iguais.
  • x=4 satisfaz x\ge 1. Verificando na equação original:
\sqrt{2\cdot4+1}=\sqrt{9}=3, \qquad 4-1=3,
portanto x=4 é solução válida.

Resposta

4

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