Resolva as equações:
x(x+5)=12

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x(x+5)=12.
Ou seja: encontrar todos os valores de x que tornam essa igualdade verdadeira. As informações dadas são exatamente a expressão à esquerda e o número 12 à direita; não há outras condições explícitas (assume-se x real, salvo indicação em contrário).

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a equação na forma padrão de uma equação quadrática (todas as parcelas de um lado, zero do outro). Expandindo o produto à esquerda e subtraindo 12 de ambos os lados:
x(x+5)=12
x^2+5x=12
x^2+5x-12=0.
Agora temos uma equação do tipo \,ax^2+bx+c=0 com a=1, b=5 e c=-12.

Passo 3

Vamos tentar fatorar: procurar inteiros p,q tais que p\cdot q = a\cdot c = -12 e p+q=b=5. As possibilidades (pares que multiplicam -12) são (1,-12),(2,-6),(3,-4),(-1,12),(-2,6),(-3,4). As somas são -11,-4,-1,11,4,1 respectivamente — nenhuma soma dá 5. Portanto não há fatoração com números inteiros simples. Usaremos a fórmula quadrática (método geral).

Passo 4

Vou lembrar e derivar rapidamente a fórmula quadrática (a aula rápida): para a equação geral
ax^2+bx+c=0
divida por a (assumindo a\neq0):
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.
Complete o quadrado: mova \frac{c}{a} para o outro lado e adicione \left(\frac{b}{2a}\right)^2 em ambos os lados:
x^2+\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2
O lado esquerdo fica um quadrado perfeito:
\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}.
Tirando raiz em ambos os lados:
x+\frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Isolando x obtemos a fórmula quadrática:
x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aqui \Delta = b^2-4ac chama-se discriminante; ele diz se as raízes são reais ( \Delta\ge0) e se são racionais, inteiras, etc. (se \Delta for quadrado perfeito, raízes racionais).

Passo 5

Aplicando a fórmula ao nosso caso a=1, b=5, c=-12:
Calcule o discriminante:
\Delta = b^2-4ac = 5^2-4\cdot1\cdot(-12)=25+48=73.
Como \Delta=73>0 e não é quadrado perfeito, há duas raízes reais distintas e irracionais. Agora:
x = \frac{-5\pm\sqrt{73}}{2\cdot1}=\frac{-5\pm\sqrt{73}}{2}.

Passo 6

Para sentir os números, aproximações (opcionais):
\sqrt{73}\approx8{,}544,\quad x\approx\frac{-5+8{,}544}{2}\approx1{,}772, \quad x\approx\frac{-5-8{,}544}{2}\approx-6{,}772.
Esses valores aproximados conferem com a solução exata acima (útil para checar rapidamente).

Resposta

x=\dfrac{-5+\sqrt{73}}{2}
x=\dfrac{-5-\sqrt{73}}{2}