Resolva as equações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Ou seja: encontrar todos os valores de
que tornam essa igualdade verdadeira. As informações dadas são exatamente a expressão à esquerda e o número
à direita; não há outras condições explícitas (assume-se
real, salvo indicação em contrário).
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever a equação na forma padrão de uma equação quadrática (todas as parcelas de um lado, zero do outro). Expandindo o produto à esquerda e subtraindo
de ambos os lados:
Agora temos uma equação do tipo
com
,
e
.
Passo 3
Vamos tentar fatorar: procurar inteiros
tais que
e
. As possibilidades (pares que multiplicam
) são
. As somas são
respectivamente — nenhuma soma dá
. Portanto não há fatoração com números inteiros simples. Usaremos a fórmula quadrática (método geral).
Passo 4
Vou lembrar e derivar rapidamente a fórmula quadrática (a aula rápida): para a equação geral
divida por
(assumindo
):
Complete o quadrado: mova
para o outro lado e adicione
em ambos os lados:
O lado esquerdo fica um quadrado perfeito:
Tirando raiz em ambos os lados:
Isolando
obtemos a fórmula quadrática:
Aqui
chama-se discriminante; ele diz se as raízes são reais (
) e se são racionais, inteiras, etc. (se
for quadrado perfeito, raízes racionais).
Passo 5
Aplicando a fórmula ao nosso caso
,
,
:
Calcule o discriminante:
Calcule o discriminante:
Como
e não é quadrado perfeito, há duas raízes reais distintas e irracionais. Agora:
Passo 6
Para sentir os números, aproximações (opcionais):
Esses valores aproximados conferem com a solução exata acima (útil para checar rapidamente).