Resolva as equações:
x^{2}-2 x+6=2 x^{2}-6 x-26

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{2}-2x+6=2x^{2}-6x-26
e pede para encontrar todas as soluções x que satisfazem essa igualdade.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é uma equação algébrica em x envolvendo potências até x^{2}.
  • Quer-se os valores de x (raízes) que tornam os dois lados iguais.

Passo 2

Primeiro passo técnico: colocar todos os termos de um lado da igualdade para obter a forma padrão de uma equação quadrática ax^{2}+bx+c=0. Subtraindo o lado esquerdo de ambos os lados, obtemos:
0 = 2x^{2}-6x-26 - (x^{2}-2x+6).
Agora vamos simplificar o lado direito termo a termo:
2x^{2}-6x-26 - x^{2} +2x -6.
Agrupando termos semelhantes (os de x^{2}, os de x e os constantes):
(2x^{2}-x^{2}) + (-6x+2x) + (-26-6).
Calculando cada grupo dá:
x^{2} -4x -32.
Portanto a equação fica na forma padrão
x^{2}-4x-32=0.

Passo 3

Agora vamos resolver a equação quadrática \,x^{2}-4x-32=0. Existem vários métodos (fatoração, completar o quadrado, fórmula quadrática). Aqui uso a fórmula quadrática porque é direta e sempre funciona.
A fórmula quadrática diz que, para uma equação \,ax^{2}+bx+c=0, as soluções são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta (discriminante) é
\Delta=b^{2}-4ac.
Nesta equação temos a=1, b=-4, c=-32. Vou calcular \Delta.

Passo 4

Cálculo do discriminante:
\Delta = b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4\cdot 1 \cdot (-32).
Calcule passo a passo:
(-4)^{2}=16, \qquad -4\cdot 1\cdot(-32)=+128.
Somando:
\Delta = 16+128 = 144.
Como \Delta=144>0, teremos duas raízes reais e distintas. A raiz quadrada de \Delta é
\sqrt{\Delta}=\sqrt{144}=12.

Passo 5

Aplicando a fórmula quadrática:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-4)\pm 12}{2\cdot 1}.
Simplificando -b=-(-4)=4 e 2a=2:
x=\frac{4\pm 12}{2}.
Agora as duas possibilidades:
  1. Com o sinal +:
x=\frac{4+12}{2}=\frac{16}{2}=8.
  1. Com o sinal -:
x=\frac{4-12}{2}=\frac{-8}{2}=-4.

Resposta

x=8
x=-4