Resolva, por escalonamento, cada um dos sistemas e classifique-os em SPD, SPI ou SI.
\left\{\begin{aligned} x+4 y & =-3 \\\ x-y & =2 \\\\ 3 x+7 y & =-4\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por escalonamento, o sistema
\left\{\begin{aligned} x+4y &= -3,\\\ x-y &= 2,\\\\ 3x+7y &= -4, \end{aligned}\right.
e classificar o sistema como SPD (sistema possível determinado — única solução), SPI (possível indeterminado — infinitas soluções) ou SI (impossível — sem solução).
Informações dadas:
  • As incógnitas são x e y.
  • Há três equações lineares envolvendo x e y.
  • Deve-se usar escalonamento (eliminação por operações elementares entre linhas) para encontrar a solução e, a partir disso, classificar o sistema.

Passo 2

O que é escalonamento (resumo prático):
  • Escreve-se a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes).
  • Usa-se operações elementares sobre linhas: (1) trocar duas linhas, (2) multiplicar uma linha por um escalar não nulo, (3) somar a uma linha um múltiplo de outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
  • O objetivo é obter uma matriz em forma escalonada (ou escada), com zeros abaixo dos pivôs, para facilitar a resolução por substituição regressiva.
    Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Matriz aumentada correspondente às equações (colunas: coeficientes de x, de y; barra; termo à direita):
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 4 & -3\\[4pt] 1 & -1 & 2\\[4pt] 3 & 7 & -4 \end{array}\right]
Explicação: a primeira linha vem da equação x+4y=-3, etc.]

Passo 4

Eliminação do coeficiente de x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 (que já tem 1 como coeficiente de x, bom pivô):
  • Fazer L_2 \leftarrow L_2 - L_1. Cálculo linha 2: (1,-1,2) - (1,4,-3) = (0,-5,5).
  • Fazer L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1. Cálculo linha 3: (3,7,-4) - 3(1,4,-3) = (3,7,-4) - (3,12,-9) = (0,-5,5).
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 4 & -3\\[4pt] 0 & -5 & 5\\[4pt] 0 & -5 & 5 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora eliminar o coeficiente da segunda coluna na linha 3 usando a linha 2:
  • Fazer L_3 \leftarrow L_3 - L_2. Cálculo: (0,-5,5) - (0,-5,5) = (0,0,0).
A matriz escalonada fica
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 4 & -3\\[4pt] 0 & -5 & 5\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Interpretação: a terceira linha virou 0=0, que é uma identidade verdadeira — não traz nova restrição. Restam, portanto, duas equações efetivas para duas incógnitas.]

Passo 6

Resolver o sistema triangular obtido por substituição regressiva:
  • Da segunda linha temos -5y = 5. Resolve-se dividindo por -5: y = \frac{5}{-5} = -1.
  • Substituir y=-1 na primeira linha x+4y=-3: x + 4(-1) = -3 \quad\Rightarrow\quad x -4 = -3 \quad\Rightarrow\quad x = 1.
Portanto a solução candidata é x=1,\; y=-1.

Passo 7

Verificação nas três equações originais (para garantir consistência):
  • Na primeira: 1 + 4(-1) = 1-4 = -3 (ok).
  • Na segunda: 1 - (-1) = 1+1 = 2 (ok).
  • Na terceira: 3\cdot1 + 7\cdot(-1) = 3-7 = -4 (ok).
    Todas as equações são satisfeitas, logo o sistema é consistente e tem exatamente uma solução.

Passo 8

Classificação final:
  • Existem dois pivôs (um na coluna de x, outro na coluna de y), correspondendo às duas incógnitas, e não houve contradição (linha do tipo 0 = c com c\neq0). Portanto o sistema tem solução única.
  • Classificação: SPD (sistema possível determinado).

Resposta

Solução: (x,y)=(1,-1)
Classificação: SPD