Resolva, por escalonamento, cada um dos sistemas e classifique-os em SPD, SPI ou SI. \left\{\begin{aligned} x+4 y & =-3 \\\ x-y & =2 \\\\ 3 x+7 y & =-4\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por escalonamento, o sistema
e classificar o sistema como SPD (sistema possível determinado — única solução), SPI (possível indeterminado — infinitas soluções) ou SI (impossível — sem solução).
Informações dadas:
As incógnitas são x e y.
Há três equações lineares envolvendo x e y.
Deve-se usar escalonamento (eliminação por operações elementares entre linhas) para encontrar a solução e, a partir disso, classificar o sistema.
Passo 2
O que é escalonamento (resumo prático):
Escreve-se a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes).
Usa-se operações elementares sobre linhas: (1) trocar duas linhas, (2) multiplicar uma linha por um escalar não nulo, (3) somar a uma linha um múltiplo de outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
O objetivo é obter uma matriz em forma escalonada (ou escada), com zeros abaixo dos pivôs, para facilitar a resolução por substituição regressiva.
Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Matriz aumentada correspondente às equações (colunas: coeficientes de x, de y; barra; termo à direita):
Interpretação: a terceira linha virou 0=0, que é uma identidade verdadeira — não traz nova restrição. Restam, portanto, duas equações efetivas para duas incógnitas.]
Passo 6
Resolver o sistema triangular obtido por substituição regressiva:
Da segunda linha temos -5y = 5. Resolve-se dividindo por -5:y = \frac{5}{-5} = -1.
Substituir y=-1 na primeira linha x+4y=-3:x + 4(-1) = -3 \quad\Rightarrow\quad x -4 = -3 \quad\Rightarrow\quad x = 1.
Portanto a solução candidata é x=1,\; y=-1.
Passo 7
Verificação nas três equações originais (para garantir consistência):
Na primeira: 1 + 4(-1) = 1-4 = -3 (ok).
Na segunda: 1 - (-1) = 1+1 = 2 (ok).
Na terceira: 3\cdot1 + 7\cdot(-1) = 3-7 = -4 (ok).
Todas as equações são satisfeitas, logo o sistema é consistente e tem exatamente uma solução.
Passo 8
Classificação final:
Existem dois pivôs (um na coluna de x, outro na coluna de y), correspondendo às duas incógnitas, e não houve contradição (linha do tipo 0 = c com c\neq0). Portanto o sistema tem solução única.
Classificação: SPD (sistema possível determinado).