Resolva a inequação.
(x-3)\left(x^{2}+5\right)>0

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação (x-3)\left(x^{2}+5\right)>0.
Informações fornecidas:
  • A expressão a analisar é (x-3)\left(x^{2}+5\right).
  • O domínio natural da inequação é o conjunto dos números reais, ou seja, x\in\mathbb{R}.
  • A pergunta é: para quais valores de x a desigualdade (x-3)\left(x^{2}+5\right)>0 é verdadeira?

Passo 2

Identificar os fatores e suas possíveis raízes (zeros). Os fatores são:
x-3
e
x^{2}+5.
Encontrar as raízes: resolver x-3=0 x=3. Resolver x^{2}+5=0 significa x^{2}=-5, que não tem solução real. Logo, o único ponto onde algum fator se anula em \mathbb{R} é x=3.

Passo 3

Analisar o sinal do fator x^{2}+5. Para qualquer x\in\mathbb{R} vale que x^{2}\ge 0, portanto
x^{2}+5 \ge 0+5 = 5.
Como 5>0, concluímos que
x^{2}+5>0\qquad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Ou seja, esse fator é sempre estritamente positivo e nunca muda de sinal.

Passo 4

Relembrando um conceito importante: o produto de dois números reais é positivo se e somente se os dois números têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Como x^{2}+5 é sempre positivo, o sinal do produto (x-3)(x^{2}+5) é determinado exclusivamente pelo sinal do fator x-3. Em outras palavras,
(x-3)(x^{2}+5)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x-3>0,
porque multiplicar por um número sempre positivo não inverte nem anula o sinal.

Passo 5

Resolver a inequação reduzida x-3>0. Isso é simples:
x-3>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x>3.

Passo 6

Interpretar a desigualdade original com a solução encontrada: como x=3 zera o fator x-3 e queremos estritamente maior que zero, o ponto x=3 não pertence à solução. E, como para qualquer x>3 o fator x-3 é positivo e x^{2}+5 também é positivo, o produto é positivo nesses x. Para x<3 o fator x-3 é negativo, e como x^{2}+5>0 nesse caso o produto é negativo, portanto não satisfaz a inequação.

Resposta

(3,\infty)